【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套word版训练：专题三 第1讲 三角函数的

第1讲三角函数的图象与性质考情解读1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(3)诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称中心：(π2＋kπ，对称中心：对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)(kπ2，0)(k∈Z)3.三角函数的两种常见变换(1)y＝sinx―————————―→向左φ0或向右φ0平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)．(2)y＝sinxy＝sinωx―———————―→向左φ0或向右φ0平移|φω|个单位y＝sin(ωx＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)．热点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系例1(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－12，32)B．(－32，－12)C．(－12，－32)D．(－32，12)(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α的值为________．思维启迪(1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式．答案(1)A(2)－34解析(1)设Q点的坐标为(x，y)，则x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.∴Q点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sinα·sinα－sinα·cosα＝tanα.根据三角函数的定义，得tanα＝yx＝－34，∴原式＝－34.思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)如图，以Ox为始边作角α(0απ)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tanα＝________.(2)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π4答案(1)1825(2)D解析(1)由三角函数定义，得cosα＝－35，sinα＝45，∴原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosαsinα＋cosαsinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2×－352＝1825.(2)tanθ＝cos34πsin34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π40，cos3π40，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.热点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式例2(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为()A．y＝sin2xB．y＝cos2xC．y＝sin(2x＋2π3)D．y＝sin(2x－π6)(2)若函数y＝cos2x＋3sin2x＋a在[0，π2]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．思维启迪(1)先根据图象确定函数f(x)的解析式，再将得到的f(x)中的“x”换成“x－π6”即可．(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数．答案(1)D(2)(－2，－1]解析(1)由图知，A＝1，3T4＝11π12－π6，故T＝π＝2πω，所以ω＝2，又函数图象过点(π6，1)，代入解析式中，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|π2，故φ＝π6.则f(x)＝sin(2x＋π6)向右平移π6后，得到y＝sin[2(x－π6)＋π6)＝sin(2x－π6)，选D.(2)由题意可知y＝2sin(2x＋π6)＋a，该函数在[0，π2]上有两个不同的零点，即y＝－a，y＝2sin(2x＋π6)在[0，π2]上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a2，所以－2a≤－1.思维升华(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝π4，M为QR的中点，PM＝25，则A的值为()A.833B.1633C．8D．16(2)若将函数y＝tan(ωx＋π4)(ω0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋π6)的图象重合，则ω的最小正值为()A.16B.14C.13D.12答案(1)B(2)D解析(1)由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a0)．则M(a2，－a2)，由两点间距离公式得，PM＝2－a22＋a22＝25，解得a＝8，由此得，T2＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝π6，由P(2,0)得φ＝－π3，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得，f(x)＝Asin(π6x－π3)，从而f(0)＝Asin(－π3)＝－8，得A＝1633.(2)y＝tan(ωx＋π4)的图象向右平移π6，得到y＝tan(ωx＋π4－ωπ6)的图象，与y＝tan(ωx＋π6)重合，得π4－ωπ6＝kπ＋π6，故ω＝－6k＋12，k∈Z，∴ω的最小正值为12.热点三三角函数的性质例3设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈[0，π6]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．思维启迪先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)．解(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋π4)＋1＋a，则f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，且当2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)时f(x)单调递增，即kπ－38π≤x≤kπ＋π8(k∈Z)．所以[kπ－3π8，kπ＋π8](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．(2)当x∈[0，π6]时⇒π4≤2x＋π4≤7π12，当2x＋π4＝π2，即x＝π8时sin(2x＋π4)＝1.所以f(x)max＝2＋1＋a＝2⇒a＝1－2.由2x＋π4＝kπ＋π2得x＝kπ2＋π8(k∈Z)，故y＝f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π8，k∈Z.思维升华函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋23sin2ωx－3(ω0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象；若y＝g(x)在[0，b](b0)上至少含有10个零点，求b的最小值．解(1)由题意得：f(x)＝2sinωxcosωx＋23sin2ωx－3＝sin2ωx－3cos2ωx＝2sin(2ωx－π3)，由周期为π，得ω＝1，得f(x)＝2sin(2x－π3)，函数的单调增区间为2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，整理得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间是[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin2x＋1的图象，所以g(x)＝2sin2x＋1，令g(x)＝0，得x＝kπ＋7π12或x＝kπ＋11π12(k∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋11π12＝59π12.1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)的图象求解析式(1)A＝ymax－ymin2，B＝ymax＋ymin2.(2)由函数的周期T求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．5．特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身．真题感悟1．(2014·辽宁)将函数y＝3sin(2x＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间[π12，7π12]上单调递减B．在区间[π12，7π12]上单调递增C．在区间[－π6，π3]上单调递减D．在区间[－π6，π3]上单调递增答案B解析y＝3sin(2x＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y＝3sin[2(x－π2)＋π3]＝3sin(2x－23π)．令2kπ－π2≤2x－23π≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ＋π12≤x≤kπ＋712π，k∈Z，则y＝3sin(2x－23π)的增区间为[kπ＋π12，kπ＋712π]，k∈Z.令k＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B正确．画出y＝3sin(2x－23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y＝3sin(2x－23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C，D错误．2．(2014·北京)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)．若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．答案π解析∵f(x)在π6，π2上具有单调性，∴T2≥π2－π6，∴T≥2π3.∵fπ2＝f2π3，∴f(x)的一条对称轴为x＝π2＋2π32＝7π12.又∵fπ2＝－