高考数学一轮复习-三角函数模型及其简单应用课件

三角函数模型及其简单应用1．三角函数模型的简单应用在生活中的应用在建筑学中的应用在航海中的应用在物理学中的应用2．解三角函数应用题的一般步骤：(1)阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；(2)建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；(3)讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；(4)作出结论．忆一忆知识要点要点梳理例1已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；三角函数模型有关的应用问题(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少小时时间可供冲浪者进行运动？解(1)由表中数据，知周期T＝12.∴ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.①由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.②∴A＝0.5，b＝1.∴振幅为12.∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题意知，当y1时才可对冲浪者开放．∴12cosπ6t＋11.∴cosπ6t0.∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2，k∈Z，即12k－3t12k＋3，k∈Z.③∵0≤t≤24，故可令③中k分别为0,1,2，得0≤t3或9t15或21t≤24.所以在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.对数据进行整理分析是新课程标准的要求．本题先根据给出的数据，确定模拟函数，再利用函数解决实际问题．探究提高已知电流I与时间t的函数关系式为I＝Asin(ωt＋φ)．(1)如图是I＝Asin(ωt＋φ)(ω0，|φ|π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段1150s时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？变式训练1(2)由I＝Asin(ωt＋φ)知：周期T＝2πω.要在任意一段时间1150s内，电流I都能取得最大值和最小值，则必有：T＝2πω≤1150.∴ω≥300π.∴ω的最小正整数值应为943.解(1)A＝300，|φ|π2，由－1900ω＋φ＝01180ω＋φ＝3π2，解得ω＝225πφ＝π4.∴I＝300sin225πt＋π4.例2如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中yx0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？灵活运用三角知识解决实际问题解(1)设S为十字形的面积，则S＝2xy－x2＝2sinθcosθ－cos2θ(π4θπ2)；(2)S＝2sinθcosθ－cos2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tanφ＝12，当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S最大．所以，当θ＝π4＋12(tanφ＝12)时，S最大，最大值为5－12.三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．探究提高如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？变式训练2解(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－π2，故点B的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4．8sin(θ－π2))，∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2.(2)点A在圆上转动的角速度是π30，故t秒转过的弧度数为π30t，∴h＝5.6＋4.8sinπ30t－π2，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4m.由sinπ30t－π2＝1，得π30t－π2＝π2，∴t＝30，∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．(14分)l1，l2，l3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．(1)如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，求这个正三角形ABC的边长；(2)如图所示，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，如果能放，求BC和l3夹角的正切值，并求该正三角形边长，如果不能，说明为什么？(3)如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，设l1与l2的距离为d1，l2与l3的距离为d2，求d1·d2的范围？思想与方法用三角函数解决几何问题(1)注意到l1∥l2∥l3且l1与l2的距离等于l2与l3的距离，△ABC为等边三角形，l2必垂直平分AC.(2)这是一个探索性问题，应从能放出发，利用三角函数建立关系，求解．(3)建立d1d2的三角函数式，利用三角函数求最值．审题视角规范解答解不妨设A∈l1，B∈l2，C∈l3.(1)∵A，C到直线l2的距离相等，∴l2过AC的中点M.∴l2⊥AC.∴边长AC＝2AM＝2.[4分](2)假设能放，设边长为a，BC与l3的夹角为θ，由对称性，不妨设0°θ60°，∴asinθ＝2，asin(60°－θ)＝1.两式相除，得sinθ＝2sin(60°－θ)⇒sinθ＝3cosθ－sinθ，∴2sinθ＝3cosθ.∴tanθ＝32.∴sinθ＝37，边长a＝237＝2213.[9分](3)d1·d2＝4sin(60°－θ)sinθ＝432cosθ－12sinθsinθ＝232sin2θ－1－cos2θ2＝2sin(2θ＋30°)－1.∵0°θ60°，∴30°2θ＋30°150°.∴12sin(2θ＋30°)≤1.∴d1·d2∈(0,1]．[14分]批阅笔记(1)本题的解题关键是建立三角函数的模型，选择适当的角作为变量．方法比较灵活，突出了对能力的考查．(2)第(2)问是探索性问题，考生找不到问题的突破口是造成失分的主要原因．另外计算错误也是常见失分原因．1．在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．2．理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．3．要能根据题意，画出符合题意的图形．4．对计算结果，可根据实际情况进行处理．方法与技巧1．建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．2．解决应用问题要注重检验，数字问题的解题是否符合题意．3．选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．失误与防范