高考数学一轮复习第四章第讲二倍角、简单的三角恒等变换配套课件理新人教A版

揭秘3年高考第6讲二倍角、简单的三角恒等变换揭秘3年高考考点梳理S2α：sin2α＝_________________.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝_________________＝1－2sin2α.1．二倍角公式T2α：tan2α＝__________.2tanα1－tan2α2sinαcosα2cos2α－1揭秘3年高考3．半角公式1＋cosα＝_________,1－cosα＝2sin2α2.cos2α＝，sin2α＝__________.2．升幂、降幂公式2cos2α21＋cos2α21－cos2α2(1)用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.(半角公式不要求记忆)sinα2＝±1－cosα2；cosα2＝±1＋cosα2；tanα2＝±1－cosα1＋cosα.(2)用sinα，cosα表示tanα2.(半角化单角)tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.揭秘3年高考一个关系在公式S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)中，令α＝β，则可得公式S2α，C2α，T2α.在公式S2α，C2α中角α没有限制，在T2α中，只有当α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2(k∈Z)时，公式才成立．【助学·微博】一个命题趋势本讲在高考中主要考查三角公式的灵活运用，利用公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象与性质解题．在主、客观题中出现的可能均有，难度以容易和中档题为主，主要考查基本技能和基本方法．揭秘3年高考考点自测1．(2013·扬州调研)已知cosπ2＋θ＝45，则cos2θ＝________.解析45＝cosπ2＋θ＝－sinθ，即sinθ＝－45，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2－452＝－725.答案－725揭秘3年高考2．(2013·菏泽模拟)已知sin2α＝55，且α∈0，π4，则sin4α－cos4α的值为________．解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos2α＝－1－sin22α＝－255.答案－255揭秘3年高考3．已知sin(π＋α)＝－13，且α是第二象限角，那么sin2α＝________.解析sinα＝13，α为第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－223，所以sin2α＝2sinαcosα＝－429.答案－429揭秘3年高考4．(2012·苏州调研)已知tanx－1tanx＝32，则tan2x＝________.解析由tanx－1tanx＝32，可得tanx1－tan2x＝－23，所以tan2x＝2tanx1－tan2x＝－43.答案－43揭秘3年高考5．(2012·苏州第一次调研)已知π2απ，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)＝________.解析由3sin2α＝2cosα，得6sinαcosα＝2cosα.由π2απ，得cosα≠0，sinα＝13，cos(α－π)＝－cosα＝－1－132＝－223.答案－223揭秘3年高考考向一应用二倍角公式解决化简问题【例1】(1)化简：sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°21－cos210°；(2)已知34π＜α＜π，tanα＋1tanα＝－103.求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2的值．揭秘3年高考解(1)∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝cos10°cos10°＝1cos80°21－cos210°＝sin10°·2sin210°＝2sin210°∴原式＝1－cos20°2sin210°＝2sin210°2sin210°＝2.揭秘3年高考(2)∵tanα＋1tanα＝－103，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－3或tanα＝－13.又∵3π4＜α＜π，∴tanα＝－13.又∵5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2＝5·1－cosα2＋4sinα＋11·1＋cosα2－8－2cosα＝5－5cosα＋8sinα＋11＋11cosα－16－22cosα＝8sinα＋6cosα－22cosα＝8tanα＋6－22＝－526.揭秘3年高考[方法总结](1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．(2)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．揭秘3年高考【训练1】已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值．解由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.∴f(x0)＝2sin2x0＋π6.揭秘3年高考又因为f(x0)＝65，所以sin2x0＋π6＝35.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6.从而cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos2x0＋π6－π6＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310揭秘3年高考考向二应用二倍角公式解决给值求值问题【例2】(1)(2012·常州中学月考)设π3α3π4，sinα－π4＝35，求sinα－cos2α＋1tanα的值．(2)(2012·南京二模)设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ为锐角．①若a·b＝136，求sinθ＋cosθ的值；②若a∥b，求sin2θ＋π3的值．揭秘3年高考解(1)法一由π3α3π4，得π12α－π4π2，又sinα－π4＝35，所以cosα－π4＝45.所以cosα＝cosα－π4＋π4＝cosα－π4cosπ4－sinα－π4sinπ4＝210，所以sinα＝7210.故原式＝sinα＋2sin2αsinαcosα＝(1＋2sinα)cosα＝14＋5250.揭秘3年高考法二由sinα－π4＝35，得sinα－cosα＝325，两边平方，得1－2sinαcosα＝1825，即2sinαcosα＝7250.由于π3α3π4，所以π3απ2.因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝3225，所以sinα＋cosα＝425，解得sinα＝7210，cosα＝210.故原式＝(1＋2sinα)cosα＝14＋5250.(2)①因为a·b＝2＋sinθcosθ＝136，所以sinθcosθ＝16.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝43.又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝233.②因为a∥b，所以21＝sinθcosθ，即tanθ＝2.揭秘3年高考法一所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθtan2θ＋1＝45，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＝1－tan2θtan2θ＋1＝－35.所以sin2θ＋π3＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×－35＝4－3310.法二又θ为锐角，所以sinθ＝255，cosθ＝55.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝45，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－35.所以sin2θ＋π3＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×－35＝4－3310.揭秘3年高考[方法总结]已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路为：(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．揭秘3年高考【训练2】已知α∈0，π2，tanα＝12，求：(1)tan2α的值；(2)sin2α＋π3的值．解(1)因为tanα＝12，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.(2)因为α∈0，π2，所以2α∈(0，π)，又tan2α0，所以sin2α＝45，cos2α＝35.所以sin2α＋π3＝sin2αcosπ3＋cos2αsinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.揭秘3年高考考向三以三角恒等变换为工具研究三角函数性质【例3】(2012·苏北四市第二次质检)已知函数f(x)＝sinπ4＋xsinπ4－x＋3sinxcosx(x∈R)．(1)求fπ6的值；(2)在△ABC中，若fA2＝1，求sinB＋sinC的最大值．解(1)因为f(x)＝sinπ4＋xsinπ4－x＋3sinxcosx＝12cos2x＋32sin2x＝sin2x＋π6，所以fπ6＝1.揭秘3年高考(2)因为fA2＝1，所以fA2＝sinA＋π6＝1.因为0Aπ，所以A＋π6＝π2，即A＝π3.sinB＋sinC＝sinB＋sin2π3－B＝32sinB＋32cosB＝3sinB＋π3.因为0B2π3，所以π3B＋π3π，0sinB＋π3≤1，所以sinB＋sinC的最大值为3.揭秘3年高考[方法总结]三角函数标准式在求三角函数性质(如单调性、最值等)时有着重要作用．化简时常常要结合三角恒等变换知识，这是解决三角函数问题的基础，因此，要牢固掌握这一解题技巧．揭秘3年高考【训练3】(2012·苏北三市调研)已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωxsinωx＋π2(ω0)的最小正周期为π2.(1)写出函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间0，π3上的取值范围．揭秘3年高考解(1)f(x)＝1－cos2ωx2＋32sin2ωx＝32sin2ωx－12cos2ωx＋12＝sin2ωx－π6＋12.因为T＝π2，所以2π2ω＝π2(ω0)，所以ω＝2，f(x)＝sin4x－π6＋12.于是由2kπ－π2≤4x－π6≤2kπ＋π2，解得kπ2－π12≤x≤kπ2＋π6(k∈Z)．所以f(x)的增区间为kπ2－π12，kπ2＋π6(k∈Z)．揭秘3年高考(2)因为x∈0，π3，所以4x－π6∈－π6，7π6，所以sin4x－π6∈－12，1，所以f(x)∈0，32.故f(x)在区间0，π3上的取值范围是0，32.揭秘3年高考在高考三角函数题中，正用和逆用二倍角公式，将三角函数式化为正弦型或余弦型函数，是研究三角函数性质问题的基本解题途径．其中遇到平方先降幂，是逆用二倍角余弦公式的典型技巧之一．方法优化2二倍角公式的正用与逆用揭秘3年高考[教你解题]逆用三角有关公式将三角函数式化为正弦型或余弦型函数式，再求解．【示例】(2012·四川卷)已知函数f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．[一般解法](1)f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12＝12(1＋cosx)－12sinx－12＝12(cosx－sinx)＝－22s