高考数学一轮总复习 第26讲 平面向量的概念及线性运算课件 文 新人教A版

21．理解向量的有关概念，平面向量基本定理以及平面向量的坐标概念．2．掌握向量的几何表示、实数与向量的积的概念及运算，掌握平面向量的坐标运算．3．理解平面向量共线的充要条件，会判断向量是否共线、垂直．31.向量的有关概念既有①又有②的量叫做向量.③的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的.④的向量叫做单位向量.方向⑤的⑥向量叫做平行向量(或共线向量).⑦且⑧的向量叫做相等向量.⑨且⑩的向量叫做相反向量.52.向量的表示方法用小写字母表示，用有向线段表示，用坐标表示.3.向量的运算加法、减法运算法则：平行四边形法则、三角形法则.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：6(1)|λa|=;(2)当λ0时,λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ=0时，λa=.运算律：交换律、分配律、结合律.4.平面向量共线定理向量b与非零向量a共线的充分必要条件是.11121314155.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内两个的向量，那么对这个平面内任一向量a，.实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.6.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，x、y,使得a=xi+yj,则实数对叫做向量a的直角坐标,16171819记作a=(x,y)，其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.相等的向量坐标，坐标相同的向量是的向量.20211011121.化简以下各式：(1)AB→＋BC→＋CA→；(2)AB→－AC→＋BD→－CD→；(3)OA→－OD→＋AD→；(4)NQ→＋QP→＋MN→－MP→.14其中结果为零向量的个数是()A．1B．2C．3D．415【解析】对于(1)，AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0；对于(2)，AB→－AC→＋BD→－CD→＝(AB→＋BD→)－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0；对于(3)，OA→－OD→＋AD→＝DA→＋AD→＝0；对于(4)，NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝(NQ→＋QP→)＋(MN→－MP→)＝NP→＋PN→＝0.162.(2012·广东卷)若向量AB→＝(1，2)，BC→＝(3，4)，则AC→＝()A．(4，6)B．(－4，－6)C．(－2，－2)D．(2，2)A173.e1，e2为基底向量，AB→＝e1－ke2，CB→＝2e1＋e2，CD→＝3e1－e2，若A、B、D三点共线，则k的值是()A．2B．－3C．－2D．318【解析】BD→＝CD→－CB→＝3e1－e2－2e1－e2＝e1－2e2.因为A、B、D三点共线，所以存在λ∈R，使AB→＝λBD→.而e1－ke2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2.所以λ＝1－k＝－2λ⇒k＝2.194.(2011·四川卷)如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B.BE→C.AD→D.CF→20【解析】BA→＋CD→＋EF→＝CD→＋DE→＋EF→＝CF→，选D.215.若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于()A．－12a＋32bB.12a－32bC.32a－12bD．－32a＋12b22【解析】设c＝ma＋nb，则(－1，2)＝m(1，1)＋n(1，－1)＝(m＋n，m－n)，所以m＋n＝－1m－n＝2，解得m＝12n＝－32，所以c＝12a－32b，故选B.23易错点：不能灵活运用平面向量基本定理，使用待定系数法进行解题．24一平面向量的基本概念【例1】判断下列各题是否正确：(1)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(2)四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB→＝DC→；(3)已知λ，μ∈R，λ≠μ，则(λ＋μ)a与a共线；(4)已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若OA→＋OB→＋OC→＝0，则O是△ABC的重心．【解析】(1)若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确．长度相等的向量．如图所示，以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD，则OD→＝OB→＋OC→，所以OD→＝－OA→，在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于E，BE→＝EC→，则OE→＝ED→.所以AE是△ABC的边BC的中线，且|OA→|＝2|OE→|.所以O是△ABC的重心，故正确．【点评】(1)AB→|AB→|表示与AB→同方向的单位向量．(2)向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②任一向量与它的相反向量不相等；③模为0是一向量方向不确定的充要条件；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．素材1【解析】①不正确．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB→、CD→在同一直线上．②不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等．③正确．④不正确.AC→与BC→共线，虽起点不同，但其终点却相同．二向量的线性运算【例2】如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC→＝a，BD→＝b，试用a、b分别表示DE→、CE→和MN→.【解析】由三角形中位线定理知DE綊12BC，故DE→＝12BC→，即DE→＝12a.CE→＝CB→＋BD→＋DE→＝－a＋b＋12a＝－12a＋b.MN→＝MD→＋DB→＋BN→＝12ED→＋DB→＋12BC→＝－14a－b＋12a＝14a－b.【点评】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些基本定理，活用闭合向量和为零向量；因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知量转化为与已知向量有直接关系的向量求解．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，P为一动点，及OP→＝OA→＋tAB→.(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．素材2【解析】(1)设P(x，y)，则(x，y)＝(3t＋1,3t＋2)，t＝－23时，P在x轴上；t＝－13时，P在y轴上．当P在第二象限时，由3t＋103t＋20，解得－23t－13.(2)若四边形OABP为平行四边形，则OP→＝AB→＝(3,3)，又OP→＝OA→＋tAB→，即(3,3)＝(3t＋1,3t＋2)，所以3t＝23t＝1，矛盾．所以四边形OABP不能构成平行四边形．三共线向量基本定理及应用【例3】(1)设两个非零向量a与b不共线，若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线．(2)(2011·北京卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若a－2b与c共线，则k＝________.【解析】(1)因为AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，所以BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→，所以AB→，BD→共线，又因为它们有公共点B，所以A、B、D三点共线．(2)因为a－2b＝(3，3)，c＝(k，3)，又因为a－2b与c共线，方法1：所以3×3－3k＝0⇒k＝1.方法2：所以a－2b＝λc⇔3＝λk3＝3λ⇒k＝1λ＝3.【点评】(1)当b≠0时，a∥b⇔a＝λb(λ∈R)；或者a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明三点共线问题，可用向量共线解决：当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)求|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行？平行时它们是同向还是反向？素材3【解析】(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，则|a＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即得k＝－13，此时ka－b＝(k－2，－1)＝(－73，－1)，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．备选例题已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向【解析】取a＝(1,0)，b＝(0,1)．若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，a与b不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向，排除C，故选D.481.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理,平面向量实数对(x,y),任何一个平面向量都有惟一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系.即向量(x,y)OA点A(x,y).向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.一一对应一一对应一一对应2.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法.503.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二:一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标;二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.