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全国各地中考数学压轴题汇编几何综合参考答案与试题解析一.解答题(共18小题)1.(2018•无锡)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cosB=,求AD的长.解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠A=90°,∴∠C=180°﹣∠A=90°,∠ABC+∠ADC=180°.作AE⊥BC于E,DF⊥AE于F,则CDFE是矩形,EF=CD=10.在Rt△AEB中,∵∠AEB=90°,AB=17,cos∠ABC=,∴BE=AB•cos∠ABE=,∴AE==,∴AF=AE﹣EF=﹣10=.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠CDF=90°,∴∠ABC+∠ADF=90°,∵cos∠ABC=,∴sin∠ADF=cos∠ABC=.在Rt△ADF中,∵∠AFD=90°,sin∠ADF=,∴AD===6.2.(2018•南京)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:(1)∠BOD=∠C;(2)四边形OBCD是菱形.证明:(1)延长OA到E,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO,又∠BOE=∠ABO+∠BAO,∴∠BOE=2∠BAO,同理∠DOE=2∠DAO,∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO)即∠BOD=2∠BAD,又∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C;(2)连接OC,∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC,∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO,∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,∴∠BOC=∠BOD,∠BCO=∠BCD,又∠BOD=∠BCD,∴∠BOC=∠BCO,∴BO=BC,又OB=OD,BC=CD,∴OB=BC=CD=DO,∴四边形OBCD是菱形.3.(2018•淮安)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,切点为A,BC交⊙O于点D,点E是AC的中点.(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,∠B=50°,AC=4.8,求图中阴影部分的面积.解:(1)直线DE与⊙O相切.理由如下:连接OE、OD,如图,∵AC是⊙O的切线,∴AB⊥AC,∴∠OAC=90°,∵点E是AC的中点,O点为AB的中点,∴OE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3,∵OB=OD,∴∠B=∠3,∴∠1=∠2,在△AOE和△DOE中,∴△AOE≌△DOE,∴∠ODE=∠OAE=90°,∴OA⊥AE,∴DE为⊙O的切线;(2)∵点E是AC的中点,∴AE=AC=2.4,∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°,∴图中阴影部分的面积=2•×2×2.4﹣=4.8﹣π.4.(2018•连云港)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形;(2)BC=2CD.证明:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°,∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.5.(2018•南京)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证:△AFG∽△DFC;(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.(1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°,∴∠CDF+∠ADF=90°,∵AF⊥DE,∴∠AFD=90°,∴∠DAF+∠ADF=90°,∴∠DAF=∠CDF,∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形,∴∠FCD+∠DGF=180°,∵∠FGA+∠DGF=180°,∴∠FGA=∠FCD,∴△AFG∽△DFC.(2)解:如图,连接CG.∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF,∴△EDA∽△ADF,∴=,即=,∵△AFG∽△DFC,∴=,∴=,在正方形ABCD中,DA=DC,∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3,∴CG==5,∵∠CDG=90°,∴CG是⊙O的直径,∴⊙O的半径为.6.(2018•无锡)如图,矩形ABCD中,AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ(0°<θ<90°)得到矩形A1BC1D1,点A1在边CD上.(1)若m=2,n=1,求在旋转过程中,点D到点D1所经过路径的长度;(2)将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2,点D2在BC的延长线上,设边A2B与CD交于点E,若=﹣1,求的值.解:(1)作A1H⊥AB于H,连接BD,BD1,则四边形ADA1H是矩形.∴AD=HA1=n=1,在Rt△A1HB中,∵BA1=BA=m=2,∴BA1=2HA1,∴∠ABA1=30°,∴旋转角为30°,∵BD==,∴D到点D1所经过路径的长度==π.(2)∵△BCE∽△BA2D2,∴==,∴CE=∵=﹣1∴=,∴AC=•,∴BH=AC==•,∴m2﹣n2=6•,∴m4﹣m2n2=6n4,1﹣=6•,∴=(负根已经舍弃).7.(2018•泰州)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)过点D作DF⊥AB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.解:(1)DE与⊙O相切,理由:连接DO,∵DO=BO,∴∠ODB=∠OBD,∵∠ABC的平分线交⊙O于点D,∴∠EBD=∠DBO,∴∠EBD=∠BDO,∴DO∥BE,∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠EDO=90°,∴DE与⊙O相切;(2)∵∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BE,DF⊥AB,∴DE=DF=3,∵BE=3,∴BD==6,∵sin∠DBF==,∴∠DBA=30°,∴∠DOF=60°,∴sin60°===,∴DO=2,则FO=,故图中阴影部分的面积为:﹣××3=2π﹣.8.(2018•扬州)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AEBD是菱形;(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CE,∴∠DAF=∠EBF,∵∠AFD=∠EFB,AF=FB,∴△AFD≌△BFE,∴AD=EB,∵AD∥EB,∴四边形AEBD是平行四边形,∵BD=AD,∴四边形AEBD是菱形.(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=,AB∥CD,∴∠ABE=∠DCB,∴tan∠ABE=tan∠DCB=3,∵四边形AEBD是菱形,∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF,∴tan∠ABE==3,∵BF=,∴EF=,∴DE=3,∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15.9.(2018•宿迁)如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.解:(1)连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,∴PA=PC,在△OAP和△OCP中,∵,∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP∵PA是半⊙O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线.(2)∵OB=OC,∠OBC=60°,∴△OBC是等边三角形,∴∠COB=60°,∵AB=10,∴OC=5,由(1)知∠OCF=90°,∴CF=OCtan∠COB=5.10.(2018•淮安)如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B=15°;(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.解:(1)∵△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,∴2∠B+∠A=60°,解得,∠B=15°,故答案为:15°;(2)如图①中,在Rt△ABC中,∵∠B+∠BAC=90°,∠BAC=2∠BAD,∴∠B+2∠BAD=90°,∴△ABD是“准互余三角形”,∵△ABE也是“准互余三角形”,∴只有2∠A+∠BAE=90°,∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°,∴∠CAE=∠B,∵∠C=∠C=90°,∴△CAE∽△CBA,可得CA2=CE•CB,∴CE=,∴BE=5﹣=.(3)如图②中,将△BCD沿BC翻折得到△BCF.∴CF=CD=12,∠BCF=∠BCD,∠CBF=∠CBD,∵∠ABD=2∠BCD,∠BCD+∠CBD=90°,∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°,∴A、B、F共线,∴∠A+∠ACF=90°∴2∠ACB+∠CAB≠90°,∴只有2∠BAC+∠ACB=90°,∴∠FCB=∠FAC,∵∠F=∠F,∴△FCB∽△FAC,∴CF2=FB•FA,设FB=x,则有:x(x+7)=122,∴x=9或﹣16(舍弃),∴AF=7+9=16,在Rt△ACF中,AC===20.11.(2018•盐城)如图,在以线段AB为直径的⊙O上取一点C,连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.(1)试说明点D在⊙O上;(2)在线段AD的延长线上取一点E,使AB2=AC•AE.求证:BE为⊙O的切线;(3)在(2)的条件下,分别延长线段AE、CB相交于点F,若BC=2,AC=4,求线段EF的长.解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠C=90°,∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD,∴△ABC≌△ABD,∴∠ADB=∠C=90°,∴点D在以AB为直径的⊙O上;(2)∵△ABC≌△ABD,∴AC=AD,∵AB2=AC•AE,∴AB2=AD•AE,即=,∵∠BAD=∠EAB,∴△ABD∽△AEB,∴∠ABE=∠ADB=90°,∵AB为⊙O的直径,∴BE是⊙O的切线;(3)∵AD=AC=4、BD=BC=2,∠ADB=90°,∴AB===2,∵=,∴=,解得:DE=1,∴BE==,∵四边形ACBD内接于⊙O,∴∠FBD=∠FAC,即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC,又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°,∴∠DBE=∠BAE,∴∠FBE=∠BAC,又∠BAC=∠BAD,∴∠FBE=∠BAD,∴△FBE∽△FAB,∴=,即==,∴FB=2FE,在Rt△ACF中,∵AF2=AC2+CF2,∴(5+EF)2=42+(2+2EF)2,整理,得:3EF2﹣2EF﹣5=0,解得:EF=﹣1(舍)或EF=,∴EF=.12.(2018•扬州)如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若点F是A的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.(1)证明:作OH⊥AC于H,如图,∵AB=AC,AO⊥BC于点O,∴AO平分∠BAC,∵OE⊥AB,OH⊥AC,∴OH=OE,∴AC是⊙O的切线;(2)解:∵点F是AO的中点,∴AO=2OF=3,而OE=3,∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,∴
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