DEA课件(SBM)2017.10.24

数据包络分析©2017年评价相对有效性的DEA模型——运筹学的新领域数据包络分析©2017年方向距离函数模型的几种特例•方向距离函数是径向模型的推广，当方向向量取被评价DMU的投入产出值时，方向距离函数模型与径向DEA模型相同。•投入导向：产出导向•当方向向量为**1**1/(1)1/,0xkygxgmaxmin1..0xkkkstXgxXxYy或数据包络分析©2017年•当方向向量为•当方向向量为0,xykggy1maxmin1..0kkkkstXxYyyYx或,xkykgxgy1maxmin1..0kkkkstXxxYyy或数据包络分析©2017年如果存在坏产出（或非期望产出）的情况，可以在方向性距离函数模型中对产出进行区分，将好产出记为Y，坏产出记为B，相应的好产出向量和坏产出向量区分好坏产出之后的模型表示为ygbgmax..xkykbkstXgxYgyBgb投入、好产出和坏产出的方向向量值通常采用表示无效DMU的改进方向是减少投入、增加好产出、减少坏产出0,xg0,0ybgg数据包络分析©2017年•该模型的生产可能集•根据这个生产可能集的定义，在投入和好产出既定的条件下，坏产出可以减少，甚至可以是0，这显然与实际生产技术不符•坏产出不可避免，技术进步可以减少坏产出的数量，但不能超越生产技术水平无限减少。•因此，方向性距离函数模型修改为{(,),,}SxyxXyYbBmax..0xkykbkstXgxYgyBgb数据包络分析©2017年生产可能集表示在投入既定的条件下，可以减少好产出或增加坏产出此时模型的生产可能集{(,),,}SxyxXyYbB此图表示在投入不变的情况下，坏产出可以无限的增加，表示坏产出的强可处置性但这不太合乎逻辑，坏产出不应超出生产过程所能产生的最大数量数据包络分析©2017年•为了避免这一问题，Chung(1997)对生产可能集做了如下定义：•（1）坏产出具有弱可处置性，其意义为要减少坏产出，好产出必须也要减少。即在投入既定的条件下，如果•（2）好产出具有强可处置性，即在投入既定的条件下，如果•（3）如果坏产出为0，则好产出也为0•坏产出弱可处置的方向性距离函数为(,)(),(,)(),01ybPxybPx则(,)(),(,)(),0ybPxysbPxs则max..0xkykbkstXgxYgyBgb数据包络分析©2017年以G点为例，其坏产出最高，好产出低于B、C和D方案1：保持投入和坏产出不变，增加好产出方向向量（0,1,0）方案2：保持投入不变，减少坏产出同时增加好产出，好产出增加量与坏产出减少量之比为2:1方向向量（0,2,-1）方案3：保持投入不变，减少坏产出同时增加好产出，好产出增加量与坏产出减少量之比为1:2数据包络分析©2017年当存在非期望产出时•当方向向量为•方向性距离函数模型与包含非期望产出的投入导向径向模型等价•当方向向量为,0,0xkybgxggmaxmin1..0kkkkkstXxxXxYyBb或0,,xykbkggygbmaxmin1/1/(1)..(1)0kkkkkkkstXxYyyYxBbbBb或数据包络分析©2017年•当方向向量为•方向距离函数模型与包含非期望产出的非导向径向模型相同,,xkykbkgxgygb1maxmin1..(1)(1)(1)0kkkkkkkkkstXxxXxYyyYxBbbBb或数据包络分析©2017年至前沿最远距离（SBM模型,slackbasedmeasure）•径向模型中，无效DMU的当前状态与强有效目标值之间的距离：等比例改进+松弛改进•松弛改进在效率测量中并未得到体现，ToneKaoru(2001)提出了SBM模型：SBM模型采用表示被评价DMU的效率值，非导向模型，投入与产出数据均不能出现0。1111/min11/..,,0miikiqrrkrkksxmsyqstXsxYsyss数据包络分析©2017年•SBM模型投入和产出的无效率分别为：•SBM模型的无效率用各投入（产出）可以缩减（增加）的平均比例来衡量，投入和产出的无效率值最大化•如果SBM模型的效率值等于1，则说明被评价DMU为强有效。其目标值•非导向的SBM模型是非线性，（1）第一步可转换为1111//qmiikrrkirsxsymqˆˆ,kkkkxxsyys*111min/..0011/(1/),,0miikikkqrrkrttsxmstXttstxYttstytsyqss数据包络分析©2017年•第二步令•SBM模型中的目标函数中如果只取分子或分母，则分别为投入导向或产出导向。•投入导向：•投入数据不能出现0,,StsStst111min/..001/1,,0miikikkqrrkrtSxmstXStxYStytSyqss11min1/..,0miikikksxmstXsxYys数据包络分析©2017年加权SBM模型•在SBM模型的基础上，给各项投入和产出指标赋予不同的权重，以示不同指标重要性的差异•加权SBM模型和SBM模型评价为有效DMU是相同的，但无效DMU的效率值及其投影值会发生改变。•非导向加权SBM模型为111111/min11/..,,0mIiiikmIiiiqorrrkqorrrkkwsxwwsywstXsxYsyss数据包络分析©2017年一般方向距离函数模型效率值的计算方法•表示各项投入的改进数量，表示各项投入的改进比例，表示各项投入的平均改进比例，用来代表投入的无效率程度。•表示各项产出的改进数量，表示各项产出的改进比例，表示各项产出的平均改进比例，用来代表产出的无效率程度。•Cheng&Zervopoulos(2014)提出将方向距离函数效率值定义为ixg/ixikgx11/imxikigxmryg/ryrkgy11/rqyrkrgyq1111/min..,11/irmxikikxkykqyrkrgxmstXgxYgygyq数据包络分析©2017年•或者先通过方向距离函数模型获得最优解，然后再通过计算效率值•投入导向方向距离函数模型的效率值为•方向距离函数效率值具有的特点：（1）保持了与径向DEA模型效率值的一致性，当方向向量具有特殊形式时（），方向距离函数模型得出的效率值与径向模型相同（2）方向距离函数效率值与方向向量的长度无关（3）可以方便对投入和产出指标进行加权处理**11min1/..imkxikixkkgxmstXgxYy,xkykgxgy数据包络分析©2017年•当存在非期望产出时，Tone(2007)定义的SBM模型为111111/11/irmIixikmIiiikqoryrkqorrrwgxwwgyw121111211/min11(//)..,,0miikiqqbrrktrkrtkkbksxmsysbqqstXsxYsyBsbss数据包络分析©2017年方向距离函数超效率模型111min..,,0nnjijxiikjrjyrrkjjjkjknjtjyttkjjkstxgxygybgy1211111/11(//)irmIixikIiikqqGBryrktbttkGBrtrtwgxwwgywgbww加权方向性距离函数SBM模型数据包络分析©2017年特殊指标问题•（1）指标中存在0的问题•径向模型和方向距离函数模型：投入导向模型允许产出数据中有0，产出导向模型允许投入数据中有0，投入导向模型中必须至少有一项投入数据大于0，产出导向模型中必须至少有一项产出数据大于0，非导向模型中必须至少有一项投入和一项产出数据大于0•SBM模型：投入导向模型中不允许投入数据有0，产出导向模型中不允许产出数据有0•用一个很小的正数替代0，会对其他DMU的分析结果产生很大的影响，不如将不满足条件的DMU删除，或不满足条件的指标删除数据包络分析©2017年•（2）负数指标问题•方向性距离函数模型允许投入和产出指标中存在负数•径向模型、SBM模型中，投入导向模型允许产出指标有负数，产出导向模型允许投入指标有负数，非导向模型不允许有负数。•投入导向径向VRS模型等价为是被评价DMU的投入指标在径向改进后的目标值，改进值为•，负数表示改进方向为减少投入，•当投入指标为负数时，改进值变为正数•同理，在产出导向模型中，当产出指标为负数时，会出现相反的改进方向min1..10kkkstXxxYyeikikxxikx数据包络分析©2017年•在径向模型中如果将改进部分中的取绝对值•修改后的径向模型为•同理，对SBM模型进行类似处理ikxikxmin1..10kkkstXxxYye1111/min11/..1,,0miikiqrrkrkksxmsyqstXsxYsyess数据包络分析©2017年广义DEA模型•传统DEA模型的经济解释主要依托生产函数理论，用有效生产前沿面来模拟经验生产函数，因此传统DEA方法的评价参照系是有效决策单元，但在现实中，很多问题的参考集并不仅限于此，可能是一般单元（如录取线）、较差单元（如可容忍的底线）或者某些特殊单元（如榜样或决策者感兴趣的对象），为解决以上问题，马占新（2002）提出了样本DEA和广义DEA的概念•广义DEA的核心是“被评价单元集”与“参考集”的分离，两者的关系可能是包含、相等、相交或无关，实现了评价对象与参考标准的分离，例如不同分组的决策单元集与同一固定参考集的比较。数据包络分析©2017年•传统DEA方法中样本单元集B与决策单元集A必须相同，但广义DEA方法中如果决策单元集为A，则样本单元集可以是B，B1，B2，B3。•传统DEA模型只能依据全部决策单元进行评价，而广义DEA方法能依据任何决策单元子集和非决策单元集进行评价。•广义DEA模型扩展了原有的DEA理论数据包络分析©2017年满足规模收益不变的广义DEA模型•假设共有个决策单元和个样本单元，有种输入和种输出。对于决策单元P而言：•G-CCR其中为一个正数，称为移动因子对偶模型nnmsmax()..01,2,,10,0TpTTjjTpyVdstwxdyjnwxw11(,,),(,,),ms11min()..,,0nnjjpjjpjjjDdstxxdyy数据包络分析©2017年•定义（1）若规划G-CCR的最优值，则称决策单元相对样本数据前沿面的d倍移动为弱有效的。•（2）若规划G-CCR的最优值有下列情况之一•使得；或者•则称决策单元相对样本数据前沿面的d倍移动为有效的。特别地，当时，记G-DEA(1)弱有效为G-DEA弱有效，记G-DEA(1)有效为G-DEA有效•数值计算0,0w()1Vd()1Vd()1Vd1d数据包络分析©2017年满足规模收益可变的广义DEA模型•当系统满足规模报酬可变