2019年上海市高三二模数学填选难题及解析

2019年上海市高三二模数学填选难题解析2019-04-151.宝山11.已知无穷等比数列1a，2a，3a，各项的和为92，且22a，若49||102nS，则n的最小值为【解析】10.根据题意，0||1q，1912aq，12aq，解得13q，16a，∴1(1)91[1()]123nnnaqSq，∴49911||()22310nnS，且n*N，∴10n，即n的最小值为10.12.在线段12AA的两端点各置一个光源，已知1A、2A光源的发光强度之比为1:2，则该线段上光照度最小的一点到1A、2A的距离之比为（光学定律：P点的光照度与P到光源距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比）【解析】31:2.设1PAa，2PAb，不妨设线段12AA定长为d，1A光源的发光强度为定值1，则2A光源的发光强度为2，即转化为“已知abd，当2212ab取得最小值时，求ab的值”，∵3221133aaaaaa，332222332bbbbbb，两不等式相加，即3221222332abab，∵abd，∴322123322dab，当且仅当21aa，22bb时等号成立，即1a，32b，∴距离之比为31:2.16.设向量(,,0)uab，(,,1)vcd，且22221abcd，则下列判断错误的是（）A.向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关）B.uv的最大值为2C.u与v夹角的最大值为34D.adbc的最大值为1【解析】选B.结合空间直角坐标系，u、v向量如图，由题意，uOU，vOV，图中圆柱底面半径为1，高为1.A选项，4VOz，即v与z轴正方向夹角为4，正确；B选项，结合投影的几何意义，2||1uvu，即uv的最大值为1，∴B选项错误；C选项，VOU最大值为34，正确；D选项，∵111||222VOUSadbcOVOU，∴1adbc，正确；综上所述，选B.2.杨浦11.若△ABC的内角A、B、C，其中G为△ABC的重心，且0GAGB，则cosC的最小值为【解析】45.方法一：如左图构造，GAGB，根据题意，AA、BB均为中线，设1GA，GBt，作CDBD，∴△AGB与△CDB全等，∴2CD，DBt，4BDt，∴2tantan333tantan()1tantan222/24BCDBCDtCBCDBCDBCDBCDttt，∴tanC的最大值为34，即cosC的最小值为45.方法二：如右图构造，GAGB，点G在以AB中点O为圆心的圆上，不妨设半径为1，则3CO，要求cosC的最小值，即求C的最大值，很明显COAB时，C会最大，此时1tan23C，∴3tan4C，即4cos5C.12.定义域为集合{1,2,3,,12}上的函数()fx满足：①(1)1f；②|(1)()|1fxfx（1,2,,11x）；③(1)f、(6)f、(12)f成等比数列；这样的不同函数()fx的个数为【解析】155.根据题意，当n为奇数，()fn也为奇数，当n为偶数，()fn也为偶数，且()fnn，因为2(12)(6)ff，∴(12)f只能为平方数4，∴(6)2f.①(1)1f，(6)2f，(12)4f；其中(1)(6)ff的五步中有2步1、3步1，(6)(12)ff的六步中有2步1、4步1，∴()fx的个数为2256150CC；②(1)1f，(6)2f，(12)4f；其中(1)(6)ff的五步中有4步1、1步1，(6)(12)ff的六步中有0步1、6步1，∴()fx的个数为40565CC；综上所述，这样的不同函数()fx的个数为1505155个16.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且7cos8A，I为△ABC内部的一点，且0aIAbIBcIC，若AIxAByAC，则xy的最大值为（）A.54B.12C.56D.45【解析】选D.∵()()aAIbIBcICbIAABcIAACbIAcIAbABcAC，∴()abcAIbABcAC，即bcAIABACabcabc，∴bcxyabc，由余弦定理：22222152cos()4abcbcAabcbc，∵2()4bcbc，∴2221511()()()4164abcbcbcabc，∴45xy，故选D.3.奉贤11.实系数一元二次方程210axbx(0)ab的两个虚根1z、2z，1z的实部1Re()0z，则1220212020292020mmmzz的模等于1，则实数m【解析】2.设1izxy，xR，yR，且0x，则2izxy，∴1220212020202120202020i2920202920202020immmmmmzxyzxy，其模为1，即20212020292020mmmxx或20212020202029mmmxx（由0x舍），∴202129mmm，用计算器可求出2m.12.设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧BC上运动（包含B、C两个端点），23BAC，且APxAByAC，xyxy的取值范围为【解析】[1,3].以A为原点，AB为x正半轴建立平面直角坐标系，∴(1,0)AB，13(,)22AC，设(cos,sin)P，2[0,]3，13(,)22APxAByACxyy，∴1cos2xy，3sin2y，即23sin3y，3cossin3x，∴31121cos3sinsin2cos22sin()sin(2)3336363xyxy∵1sin()6y和2sin(2)6y均在[0,]3上单调递增，在2[,]33上单调递减，且3x为两个三角函数的对称轴，∴0或23时，min()1xyxy，3时，max()3xyxy，∴xyxy的取值范围为[1,3].16.设有△000ABC，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形△111ABC，再作△111ABC的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形△222ABC，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列△nnnABC（1,2,3,n），它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（）A.等边三角形B.直角三角形C.与原三角形相似D.以上均不对【解析】选A.如右图所示，由△nnnABC内切圆的三个切点确定△111nnnABC，∵内切圆圆心为三条角平分线的交点，到三边距离相等，∴12nnnBCA，12nnnACB，12nnnABC，∴△111nnnABC内角为△nnnABC内角的均值，故三个内角会趋于相等，即等边三角形.4.虹口11.若函数20()(1)(2)0xxfxfxfxx，则(2019)f的值为【解析】1.0x，(3)(2)(1)[(1)()](1)()fxfxfxfxfxfxfx，∴(6)(3)()fxfxfx，即0x时，周期为6.或者简单归纳，(1)2f，(0)1f，(1)(0)(1)1fff，(2)2f，(3)1f，(4)1f，(5)2f，(6)1f，…，观察可得，周期为6，∴(2019)(33663)(3)1fff12.过点1(,2)2P作圆224:()(1)13Cxmym（mR）的切线，切点分别为A、B，则PAPB的最小值为【解析】223.设ACP，(0,)2，2ACB，1cosCP，∴()()PAPBPCCAPCCB2PCPCCBCAPCCACB2111cos2cos2212cos3223cos，当22cos2时等号成立.16.已知等比数列{}na的首项为2，公比为13，其前n项和记为nS，若对任意的*nN，均有13nnASBS恒成立，则BA的最小值为（）A.72B.94C.114D.136【解析】选B.31[1()]23nnS，11()3n取值依次为113、119、1127、1181、…，∴21nSSS，即423nS，设1()3nnnfSSS，可知其在4[,2]3上单调递增，∴4()()(2)3nffSf，即1311()42nfS，∴min11139()244BA，故选B.5.普陀11.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图，若四面体ABCD为鳖臑，且AB平面BCD，ABBCCD，则AD与平面ABC所成角大小为（结果用反三角函数值表示）【解析】2arctan2.根据题意，CD平面ABC，∴AD与平面ABC所成角即DAC，设1ABBCCD，∴2AC，∴12tan22DAC，即所求角为2arctan2.12.设函数()fx是定义在R上的偶函数，记2()()gxfxx，且函数()gx在区间[0,)上是增函数，则不等式2(2)(2)4fxfxx的解集为【解析】(,4)(0,).根据题意，()gx为偶函数，由2(2)(2)4fxfxx得，22(2)(2)(2)2fxxf，即(2)(2)gxg，∵()gx为偶函数，且在区间[0,)上是增函数，∴|2|2x，∴4x或0x，即解集为(,4)(0,).方法二：取特殊情况，不妨设2()2fxx，符合题意，解得解集为(,4)(0,).16.设函数()sin()6fxx，若对于任意5[,]62，在区间[0,]m上总存在唯一确定的，使得()()0ff，则m的最小值为（）A.6B.2C.76D.【解析】选B.∵5[,]62，∴3()[,0]2f，3()[0,]2f，设()tf，即对任意3[0,]2t，()ft在区间[0,]m上有唯一解，结合图像可知，∵53()()262ff，∴526m，即m的最小值为26.徐汇10.已知函数4()1fxxx，若存在121,,,[,4]4nxxx使得121()()()()nnfxfxfxfx，则正整数n的最大值是【解析】6.∵当1[,4]4x，1()[3,15]4fx，11153544，∴n的最大值为611.在平面直角坐标系中，设点(0,0)O，(3,3)A，点(,)Pxy的坐标满足303200xyxyy，则OA在OP上的投影的取值范围是【解析】[3,3].点P在图中阴影部分（含边界），结合图像可知，5[,]66AOP，OA在OP上的投影即||cos23cos[3,3]OAAOPAOP12.函数()sinfxx（0）的图像与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为123,,,,,nAAAA，在点列{}nA中存在三个不同的点kA、iA、pA，使得△kipAAA是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为{}n，则2019【解析】40372.先求1，如左图所示，11242T；再分析2，如右图所示，22233342T；归纳可得，2(21)(21)(21)42nnnnTn.15.已知直线1:4360lx