人教版22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图像性质

22.1.4二次函数𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄图象和性质xyo二次函数开口方向对称轴顶点坐标𝒚=𝟐(𝒙+𝟑)𝟐+𝟓𝒚=−𝟑𝒙𝟐𝒚=𝟒𝒙𝟐+𝟕𝒚=−𝟓(𝟐−𝒙)𝟐直线𝒙=–𝟑直线𝒙=𝟎直线𝑥=2直线𝑥=0向上向上向下向下（－3，5）（0，0）（0，7）（2，0）2.你能说出二次函数𝑦=12𝑥2−6𝑥+21图像的特征吗？1.你知道吗？𝒚=𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+k叫做二次函数的顶点式.因为这种解析式很容易看出抛物线的顶点坐标和对称轴.3572725152152顶点是𝟔，𝟑，对称轴是𝒙=𝟔.抛物线𝒚=𝟏𝟐𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟐𝟏与𝒚=𝟏𝟐𝒙𝟐具有相同的开口方向和开口大小；抛物线𝒚=𝟏𝟐𝒙𝟐向右平移6个单位，向上平移3个单位，得到抛物线𝒚=𝟏𝟐𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟐𝟏.二次函数𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄的顶点、对称轴1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.抛物线开口方向对称轴顶点坐标𝒚=𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙𝒚=−𝒙𝟐−𝟐𝒙𝒚=−𝟐𝒙𝟐+𝟖𝒙−𝟖𝒚=𝟏𝟐𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟑2.抛物线𝒚=𝟐𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄的顶点坐标为−𝟏，𝟐，则𝒃=________，𝒄=_________.向上向下向上向下直线𝒙=𝟒直线𝒙=−𝟏𝟑直线𝒙=𝟐直线𝒙=−𝟏−𝟏，𝟏𝟒，−𝟓𝟐，𝟎（−𝟏𝟑，−𝟏𝟑）𝟒𝟒①由−𝒃𝟐×𝟐=−𝟏得，𝒃=𝟒②由𝟐=𝟐×−𝟏𝟐+𝟒×−𝟏+𝒄得c=𝟒yx12–1–1–2–3–4–5–612345O对于𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与𝒚轴的交点坐标、与𝒙轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象.例1：指出抛物线:𝒚=−𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟒的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与𝒚轴的交点坐标、与𝒙轴的交点坐标。并画出草图.解：抛物线𝒚=−𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟒即为∴顶点为𝟐.𝟓，𝟐.𝟐𝟓,对称轴为直线𝒙=𝟐.𝟓.由𝒙=𝟎得，𝒚=−𝟒；由𝒚=𝟎得，𝒙𝟏=𝟏，𝒙𝟐=𝟒.即抛物线与𝒚轴交于点𝟏，𝟎、𝟒，𝟎.即抛物线与𝒚轴交于点𝟎，−𝟒.𝑦=−𝑥−2.52+2.25通过以上四点即可画出抛物线𝒚=−𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟒的草图.2.二次函数的一般式𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄和顶点式𝒚=𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌各有什么优点？1.快速画出下列二次函数的图像（草图）.（1）𝒚=𝟐𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟑（2）𝒚=(𝒙−𝟑)(𝒙+𝟐)顶点式𝒚=𝒂(𝒙−𝒉)𝟐+𝒌很容易看出顶点坐标和对称轴，则对画二次函数图像很有帮助；而一般式很容易看出图像与𝒚轴交点的纵坐标.yxOyxO（1）（2）抛物线位置与系数𝒂，𝒃，𝒄的关系（1）𝒂的符号决定抛物线的开口方向（2）𝒂，𝒃决定抛物线对称轴的位置(对称轴是直线𝒙=−𝒃𝟐𝒂)【左同右异】𝒂＞0开口向上𝒂＜0开口向下𝒂，𝒃同号对称轴在y轴左侧𝒃=𝟎对称轴是y轴𝒂，𝒃异号对称轴在y轴右侧（3）𝒄决定抛物线与𝒚轴交点的位置𝒄＞𝟎𝒄=𝟎𝒄＜𝟎图象与𝒚轴交点在𝒙轴上方图象过原点图象与𝒚轴交点在𝒙轴下方（4）𝑎、𝑏、𝑐确定顶点位置（−𝑏2𝑎，4𝑎𝑐−𝑏24𝑎）（5）𝒂的符号确定二次函数有最大或最小值𝒂＞0𝒂＜0𝑥=−𝑏2𝑎时，𝑦有最小值4𝑎𝑐−𝑏24𝑎𝑥=−𝑏2𝑎时，𝑦有最大值4𝑎𝑐−𝑏24𝑎yx12–1–112O例2.已知函数𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄的图象如下图所示，𝒙=𝟏𝟑为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数𝒂，𝒃，𝒄的一些什么结论？𝒙=𝟏𝟑1.抛物线𝒚=𝟐𝒙𝟐+𝟖𝒙−𝟏𝟏的顶点在（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限CBA4.若二次函数𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄的图象如下,与x轴的一个交点为(𝟏，𝟎),则下列各式中不成立的是（）.yx–112O𝑨.𝒂𝒃𝒄𝟎𝑩.𝒃𝟐𝒂𝟎𝑪.𝒂+𝒃+𝒄=𝟎𝑫.𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄𝟒𝒂𝟎3.若二次函数y=𝒂𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝒂−𝟏的最小值是2,则a的值是（）.A.4B.-1C.3D.4或-12.不论𝒌取任何实数，抛物线𝒚=𝒂(𝒙+𝒌)𝟐+𝒌(𝒂≠𝟎)的顶点都在（）.A.直线𝒚=𝒙上B.直线𝒚=−𝒙上C.𝒙轴上D.𝒚轴上B5.若把抛物线𝒚=𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟏向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线𝒚=𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄,则（）.𝑨.𝒃=𝟐𝒄=𝟔𝑩.𝒃=−𝟔,𝒄=𝟔𝑪.𝒃=−𝟖𝒄=𝟔𝑫.𝒃=−𝟖,𝒄=𝟏𝟖B6.若一次函数𝒚=𝒂𝒙+𝒃的图象经过第二、三、四象限，则二次函数𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙−𝟑的大致图象是().CyxyxyxOyxOABCD7.在同一直角坐标系中,二次函数𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄与一次函数𝒚=𝒂𝒙+𝒄的大致图象可能是（）.yxOyxOyxOyxOABCDC8.画出下列函数的草图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当（五）、学习回顾：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=ax2(a0)y=ax2+k(a0)y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=ax2+bx+c(a0)填写表格：向上向上向上向上向上直线x=0直线x=0直线x=h直线x=h1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.驶向胜利的彼岸小结拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系驶向胜利的彼岸小结拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系abacab44,22abx2直线ab2ab2ab2abac442abac442abac442abac4421.相同点：形状相同，开口方向相同.2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是和(3)对称轴不同:分别是和(4)最值不同:分别是和y轴.03.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移||个单位(当0时,向右平移;当0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移||个单位(当0时向上平移;当0时,向下平移)得到的.