函数的零点与二分法剖析

第1页共40页函数与方程教学设计农大附中张晓东一、教材分析1．本单元的教学内容范围2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法2．本单元的教学内容在模块中的地位和作用函数的应用是学习函数的主要目的之一。本模块安排了2.3,2.4,3.4三节函数应用的学习，2.3,3.4节主要是关注函数在生活实践及其它领域中的应用，而本节内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给学生呈现了研究一个问题完整的思路和方法。本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系，又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系。在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用。函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用。3．本单元教学内容的总体教学目标（1）进一步了解函数的广泛应用（2）结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法4．本单元的教学内容重点和难点分析重点：理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解。难点：函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解。5．其它相关问题本单元的两节内容属于新增内容，涉及函数在数学内部的应用。大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用。课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，掌握分析、研究问题的方法大有好处。函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质，二次函数的相关知识，为本节的学习提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识，温故知新，体现了本套教材低起点，循序渐进，螺旋式上升的特色。再者，教材内容的呈现力图使学生在对二次函数的零点与方程的根的关系研究过程中体会由特殊到一般的思维方法；在经历用二分法求函数零点近似解的探索过程中,初步体会数形结合、逼近、算法等重要的数学思想方法；在经历无限逼近的过程中,感受整体与局部、定性与定量、精确与近似的对立统一辩证观，体会事物间相互转化的辩证思想；在数学阅读中了解数学发展史，了解数学文化；在批注中拓展知识。这也是课标强调对数学本质认识和注重提高学生的数学思维能力的体现。第2页共40页二、本单元教学方式和教学方法的概述本单元可以根据学生的情况分别采取以下教学方式：（1）根据“倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重信息技术与数学课程整合”理念和学生基础较好的实际情况，选用利用计算器或计算机自主探究、学习的方式进行教学。在教学中教师的作用是促使学生获得知识，形成能力，提炼思想方法。（2）根据学生基础较薄弱的实际和“注重提高学生的数学思维能力”的课程理念，选用师生互动下的讲授式教学模式。教师的讲要适度，不要代替学生的学，教师的作用放在启发和必要时提供帮助上。三、本单元所需教学资源的概述教师教学用书配套光盘1课件集锦中课件1210，教参中的“资源拓展”所提供的相关资料.教材中的“练习”、“习题”。四、本单元学时建议2.4函数与方程2.4.1函数的零点1课时2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1课时教案设计：方案一函数的零点农大附中毛春桃一、教学目标1、知识与技能：（1）理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。（2）能判断二次函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的根之间的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。2、过程与方法：（1）在对二次函数的零点与方程根的关系研究过程中，体会由特殊到一般的思维方法。（2）通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思想方法。3、情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中，让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣。二、教学重点、难点教学重点：函数零点的概念、求法及性质；教学难点：函数零点的应用。三、教学方法本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主第3页共40页探究，合作交流的教学方法。四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入（1）二次方程是否有实根的判定方法。（2）二次函数2yaxbxc的顶点坐标、对称轴方程等相关内容。学生思考后回答复习旧知，利于学生理解本节课的知识。函数零点的概念1、实例引入例1：已知函数26yxx，（1）当x取何值时，0?y（2）作出函数的简图。2x或3x是函数26yxx的零点。问题一：观察函数的零点在其图像上的位置。学生动手解题，并观察思考，教师总结例1。让学生感知知识发展的过程，了解函数零点与方程根的关系，渗透数形结合的思想。2、函数的零点一般地，如果函数()yfx在实数a处的值等于零，即()0fa，则a叫做这个函数的零点问题二：结合引例给函数的零点下定义。学生思考后回答培养学生类比的思想，让学生体会由特殊到一般的思维方法二次函数零点判定例2：已知函数1442xxy，22xy分别求函数的零点。学生计算、画图后回答。体验二次函数零点的各种情形，对一般二次函数零点的总结做出铺垫。3、二次函数零点的判定二次函数2yaxbxc的零点个数，方程20axbxc的实根个数见下表。判别式方程的根函数的零点0两个不相等的实根两个零点0两个相等的实根一个二重零点0无实根无零点问题三：对于二次函数2yaxbxc是否一定有零点？如何判定？学生讨论，小组代表发言。师生共同总结，并完成表格。培养学生的归纳能力，让学生体验成功的快乐。利用表格的形式，有利于学生对比记忆。第4页共40页概念深化4、深化概念引导学生回答下列问题：（1）如何求函数的零点？函数的零点与图像的关系。结合例1、例2指出函数、方程、不等式三者间存在的联系。引伸：（2）如果函数()yfx在其定义域内为单调函数，则函数()yfx在其定义域内最多有几个零点？（3）如果偶函数()yfx的定义域为R，且0)0(f，那么函数()yfx在其定义域内的零点的个数有什么规律？对R上奇函数呢？学生思考、回答，老师点评、总结（1）求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与x轴交点的横坐标。（2）单调函数在其定义域内最多有一个零点进一步深化学生对函数零点概念的理解；理清函数与方程间的联系；让学生思考问题2、3不仅可以复习旧知识，而且让学生体验了函数图象与方程的关系，感受到“数形结合”在解题中的魅力。函数零点的性质及应用练习：求函数223yxx的零点，并指出0,0yy时，x的取值范围。学生思考、回答。为引出函数零点的性质作出铺垫函数零点的性质及应用5.二次函数零点的性质①二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二次零点），函数值变号。②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。引伸：对任意函数，只要它的图像是连续不间断的，上述性质同样成立。二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数。结合例1，教师引导学生总结引导学生初步了解函数零点的性质及应用，有利于培养学生观察、分析、归纳的能力，深化对函数零点的认识。第5页共40页6.函数零点的应用例3.求函数xxxy3223的零点，并画出它的图像（1）学生求出函数的零点。（2）3个零点把x轴分成4个区间。（3）由函数零点的性质，在每一个区间上所有函数值保持同号，启发学生分别在每一个区间内，取x的一些值，根据点的变化趋势画出函数的图象。学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。渗透数形结合的思想，说明函数零点的应用。降低课本例题难度，主要考虑学生分组分解法分解因式的困难，对课本例题可布置学生按所讲例题的思路课后思考7.课堂练习教材第72页练习A1（1）（4）（5），练习B1（２）学生练习。进一步巩固本节所学内容归纳小结8.课堂小结（1）一个定义（函数的零点）（2）二个性质（函数零点的性质）（3）三个思想（函数，特殊到一般，数形结合）学生总结，教师补充完善。让学生回顾本节所学知识与方法，使知识结构更系统、更完善。课外拓展函数1223xxxy在下列哪些整数间有零点①－2与－1之间②－1与0之间③0与1之间④1与2之间⑤2与3之间学生课外思考让学生体验正确运用所学知识自主探求问题的方法，激发学生获取新知识的兴趣，为学习新知识作准备。布置作业教材第72页练习A1（6）练习B1（1）（3），2学生练习。巩固所学内容。为下节课学习做准备。补充练习：1.若函数y=ax2-x-1只有一个零点，求实数a的零点。2.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求函数g(x)=bx2-ax-1的零点。3.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，求实数a的取值范围.4.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2，求函数g(x)=bx2-ax的零点5.若方程02)13(722kkxkx的两根分别在区间（0,1），（1,2）内，求k的取值范围。6.函数xxxxxf)4)(3)(2(3)(必有一个零点的区间是（）．A．(-5,-4)B．(-4,3)C．(-1,0)D．(0,2)第6页共40页方案二函数的零点温泉二中杨冬香一、教学目标（1）知识与技能：了解函数零点与方程根的关系；能判断二次函数零点的存在性，掌握函数零点的概念；会求简单函数的零点。（2）、过程与方法：由二次函数为载体探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；通过探讨函数零点性质的形成过程，培养学生观察、归纳、探究的能力。（3）、情感、态度、价值观：体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。在函数与方程的联系中发展学生对定性与定量的认识，渗透事物整体与局部的关系，让学生初步体会对立与统一的辩证思想。教学重点、难点重点：函数零点的概念及存在性的判定；函数零点的求法；难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。利用函数的零点作图；数学思想的渗透。教学方法本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法较多。利用多媒体辅助教学。教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入解方程0322xx0322xx情况00实数根1,3xx1x无实根学生思考后动笔填表复习一元二次函数的有关知识，再次渗透数形结合的思想发动点0122xx0第7页共40页对应函数图象与轴交点（1，0）无交点概念形成提出问题：对于函数322xxy，221yxx，322xxy（1）当x取何值时，0?y（2）作出函数的简图。结合引例给函数的零点下定义，观察图象与x轴交点的横坐标与方程根的大小关系。并引出函数零点概念。画图、思考、并归纳出结论：函数图象与x轴交点的个数等于对应方程根的个数；函数图象与轴的焦点的横坐标的大小与对应方程的根的大小相等。它既是几个特殊的函数与方程，又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，也为学生归纳方程与函数的关系铺好了台阶。一、函数的零点的有关概念：1定义：一般地，如果函数()yfx在实数a处的值等于零，即()0fa，则a叫做这个函数的零点。归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标．