高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值复习课件 新人教a版选修23

2.3.1离散型随机变量的均值11.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义.2.能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望),并能解决一些实际问题.3.会求两点分布和二项分布的均值.21.本课时的重点是离散型随机变量均值的概念、两点分布和二项分布的均值及离散型随机变量均值的应用.2.本课时的难点是应用离散型随机变量解决实际问题.31.离散型随机变量的均值或数学期望一般地,若离散型随机变量X的分布列为(1)数学期望E(X)=__________________________(2)数学期望的含义：它反映了离散型随机变量取值的________.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn.平均水平42.均值的性质若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,(1)Y也是随机变量,(2)E(aX+b)=_________.3.两点分布、二项分布的均值(1)两点分布:E(X)=__.(2)二项分布:若X～B(n,p),则E(X)=____.aE(X)+bpnp51.若某人投篮的命中率为0.8,那么他投篮10次命中的均值为8的含义是什么?提示：某人投篮的命中率为0.8,是通过大量重复的试验推断出来的一个均值.由于每次试验是相互独立的,投一次可能成功,也可能失败.也就是说投篮10次可能一个球也没进,也可能进了几个球,只是从平均意义上讲10次投篮进8个球.62.分布列为的随机变量ξ的均值为_________．【解析】答案：ξ-101P1213161111E101.2363＝＋＋＝1373.若随机变量X服从二项分布B(4，)，则E(X)的值为______．【解析】∵n＝4，p＝，∴E(X)＝np＝答案：13134.34381.离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系区别随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均数是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.联系对于简单的随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.92.对均值概念的理解(1)均值的含义：均值是离散型随机变量的一个特征数,反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)均值的来源：均值不是通过一次或几次试验就可以得到的,而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值.(3)均值与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数.10求离散型随机变量的均值【技法点拨】求离散型随机变量的均值的两个步骤(1)列：列随机变量的分布列①理解随机变量X的意义,写出X的可能取得的全部值;②求X的每个值的概率；③写出X的分布列.(2)求：由均值的定义求出E(X).其中(1)是求解此类问题的关键所在.11【典例训练】1.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为_______．ξ78910Px0.10.3y122.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=，则随机变量X的数学期望E(X)=________.23112133.一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望.【解析】1.由分布列可得x＝0.6-y，且7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，解得y＝0.4.答案：0.4142.由可得,从而所以E(X)=答案：21PX0(1)1p1p312，1p2212221211PX1()(1)C(),32323122221215PX2C()(1)()323212，2211PX3().326115150123.123126353153.依题意，随机变量η=5，6，…,11，则有P(η=5)=,P(η=6)=,P(η=7)=,P(η=8)=,P(η=9)=,P(η=10)=,P(η=11)=∴η的分布列为1144162163164163162161,16Η567891011P1162163164163162161161234321E5678910118.1616161616161616【想一想】求解题1中的未知量用到了什么知识？求解题2中事件“X=1”的含义是什么？提示：(1)解题1中的未知量用到分布列的性质及数学期望的定义.(2)事件“X=1”的含义是“该毕业生得到面试的公司有且仅有一个”.18两点分布及二项分布的均值【技法点拨】1.常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)=p;(2)二项分布E(X)=np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度.212.两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生.(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值x=0,1,2,…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.22【典例训练】1.(2012·威海高二检测)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()(A)100(B)200(C)300(D)400232.若X的分布列为则E(X)＝________.X01Pa15243.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望.25【解析】1.选B.由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1000，0.2)，所以X的数学期望E(X)=1000×0.2=200.2.由题意知，＋a＝1，∴∴E(X)＝答案：154a.5＝14401.555＋＝45263.设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知p×(1-0.5)=0.3，解得p=0.6.(1)设所求概率为P1，则P1=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.(2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1-0.5)×(1-0.6)=0.2.∴X～B(100,0.2),∴E(X)=100×0.2=20.所以X的期望是20人.27【思考】题1的解答中X～B(1000,0.2)的原因及解题3(1)用的思想是什么？提示：(1)题1的解答中X～B(1000,0.2)的原因是“每粒需再补种2粒，且每粒不发芽的概率均为0.1”.(2)解题3(1)用了对立事件的概率，即“正难则反”的思想.28均值的应用【技法点拨】1.实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计.(关键词：均值的应用)332.概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.34【典例训练】1.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况A1A2A3A4S10.255070-2098S20.3065265282S30.45261678-10(A)A1(B)A2(C)A3(D)A4概率352.(2012·福建四地六校联考)张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1,A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1,B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为1233,.4536(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.【解析】1.选C.A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；A3的均值为-20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；A4的均值为98×0.25＋82×0.30-10×0.45＝44.6.∴选方案A3.372.(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)=所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.P(X=0)＝P(X=1)＝P(X=2)=0312331111C()C().22221.2331(1)(1)4510；33339(1)(1)454520；339.452038随机变量X的分布列为：E(X)=(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，Y～B(3,)，所以E(Y)＝因为E(X)＜E(Y),所以选择L2路线上班最好.X012P11092092019927012.1020202012133.2239【想一想】影响题1选择的标准是什么？提示：影响题1选择的标准是盈利均值的多与少.40【规范解答】综合应用分布列知识求数学期望【典例】(12分)(2012·临沂模拟)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为第二、三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为45，43(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望E(ξ).ξ0123Pab61252412544【解题指导】45【规范解答】事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知P(A1)=，P(A2)=p，P(A3)=q……………………………2分(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-……………………5分45611912512546(2)由题意知P(ξ=0)=P(ξ=3)=P(A1A2A3)=整理得pq=,p+q=1.由p＞q①,可得p=………………………………8分(3)由题意知a=P(ξ=1)=12316PAAA1p1q.5125424pq.512562532,q55123123123PAAAP(AAA)PAAA②47=b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=……………………12分43213213237(1)(1)(1)(1).55555555512563724581.125125125125637582490123.125125125125548【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见规范解答过程)失分警示①在解答过程中，若注意不到①处题设条件,在解答过程中可能会产生增解，尽管不影响后面的结果，但在实际考试中，可能会被扣掉1分.②在解答过程中，若不能正确表达②处，即事件“ξ=1”的含义，会直接导致a,b值的求解错误，进而导致E(ξ)求解错误.故实际的考试中最多