高中数学 3-1-1《数系的扩充与复数的概念》同步课件 新人教A版选修1-2

●课程目标1．双基目标(1)了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程：自然数集(N)→整数集(Z)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数集(C)．(2)理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．例如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部等等．理解复数相等的充要条件．(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．(4)掌握复数代数形式的四则运算法则，了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义．了解在不同数集中运算法则的联系和区别．2．情感目标(1)复数知识是现代科技中普遍使用的一种运算工具，是进一步学习高等数学的基础，培养和发展学生的运算能力，打好数学基础是高中阶段的基本要求．(2)通过数系的扩充过程，使学生感受人类认识问题、发展科学的艰辛历程．(3)在教学过程中，充分展示每一数学问题的关键，给学生讲清楚所面临的问题是什么和怎样解决问题．激发学生的好奇心，培养学生学习数学的兴趣，引导学生发现和提出问题，并独立思考和研究问题，鼓励学生创造性地解决问题．●重点难点本章重点：了解引进复数的必要性，复数的有关概念，复数的代数表示及几何意义以及复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．本章难点：复数的几何意义；复数的加法(减法)的几何意义；复数的除法的运算法则及复数的除法运算．●学法探究1．准确理解和掌握复数的分类标准是学好本章的前提．2．两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法，深刻体会这一转化思想．3．数和形的有机结合，是把复数问题转化成几何问题的重要途径之一，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)既要从整体的角度去认识它，把z看成一个整体，又要从实部和虚部的角度分解成两部分去认识它，这是解复数问题的重要思路之一．4．在进行复数加减运算时，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号，合并同类项即可，复数加法、减法的几何意义，可以用“三角形法则”解释．3．1数系的扩充与复数的概念1．了解数系从自然数系到有理数到实数再到复数扩充的基本思想．2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示．3．理解复数相等的充要条件．本节重点：1．复数的概念与复数的代数形式．2．复数的分类．本节难点：复数的概念及分类，复数相等．1．在理解复数有关概念的基础上，牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与虚数加以区别，对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.2．复数相等的充要条件是本章学习的重点内容，是把复数问题转化为实数问题的主要方法，在学习过程中要深刻体会转化思想的应用．1．本节一开始展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量的代数方程无法求解，于是自然地引入了虚数单位i，学习时，要通过列举大量的具体的数来理解各数集，明确各数集的联系及区别，不要死记硬背．2．复数的概念，代数形式a＋bi，复数相等以及复数是实数、虚数、纯虚数的概念是本节学习的核心，要通过例、习题的解决加深理解，同时还要明确如果两个复数不全是实数，就不能比较大小．1．复数的概念及代数表示(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝.(2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的与．－1实部虚部2．复数的分类(1)复数a＋bi(a，b∈R)实数(b＝0)虚数(b≠0)纯虚数(a＝0)非纯虚数(a≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔.a＝c且b＝d[例1]下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0B．1C．2D．3[分析]由题目可获取以下主要信息：①题中给出了三个命题；②判断正确命题的个数．解答本题只需根据复数的有关概念判断即可．[答案]A[解析]①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．[点评]1.数系扩充的原则(1)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i，叫做虚数单位，并且规定i2＝－1.这样原数集中不能解决的问题在新数集中就能够解决了．(2)规定i与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾．2．关于复数的代数形式复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意以下几点：(1)a，b∈R，否则不是代数形式．(2)从代数的形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数．反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R).[例2]m取何实数时，复数z＝m2－m－6m＋3＋(m2－2m－15)i(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？[解析](1)当m2－2m－15＝0m＋3≠0时即m＝5或m＝－3m≠－3，∴当m＝5时，z是实数．(2)当m2－2m－15≠0m＋3≠0时，即m≠5且m≠－3m≠－3∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数．(3)当m2－m－6＝0m＋3≠0m2－2m－15≠0时，即m＝3或m＝－2m≠－3m≠5且m≠－3∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．[点评]①判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，如果忽略了实部分式中的分母m＋3≠0，就会酿成根本性的错误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是很必要的．②对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．这是解复数问题的重要思路之一．实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？[解析](1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．(3)k2－3k－4＝0，k2－5k－6≠0，即k＝4时，z是纯虚数．(4)当k2－3k－4＝0，k2－5k－6＝0，即k＝－1时，z是零．[例3]已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．[解析]因为x，y为实数，所以2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数．由复数相等的充要条件，知2x－1＝x－y，y＋1＝－x－y，所以x＝3，y＝－2.[点评]找到两复数的实部与虚部后，根据复数相等的充要条件，实部与虚部分别相等即可求得x，y的值．已知实数x，y满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x，y的值．[解析]因为x，y为实数，所以2x－1,3－y均为实数，由复数相等的充要条件得2x－1＝y3－y＝－1解得x＝52y＝4.[例4]在下列命题中，正确命题的个数是()①两个复数不能比较大小；②z1、z2、z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数．A．0B．1C．2D．3[误解]两个复数不能比较大小，故①正确；由“(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0”可得：z1－z2＝0且z2－z3＝0，∴z1＝z3，故②正确；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x2－1＝0，x2＋3x＋2≠0，解得x＝1.故③不正确．若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，但是当a＝b＝0时，a＋b＝0，此时(a－b)＋(a＋b)i是实数．所以(a－b)＋(a＋b)i不一定是纯虚数，故④不正确．综上可知：只有①②正确，故选C.[辨析]两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②中运算的依据“a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”在复数集中是不成立的，例如“由i2＋12＝0，不能推出i＝1＝0.”错解中忽视了实数集中的结论在扩充后的复数集中不一定成立这个事实，从而导致错误．[正解]两个复数当它们都是实数时，是可能比较大小的，故①是不正确的；反例法：“若(i－0)2＋(0－1)2＝0，则i＝1”显然是错误的，故②是不正确的；③④的判断同错解．综上可知：①②③④均不正确，故选A.一、选择题1．下列结论错误的是()A．自然数集是非负整数集B．实数集与复数集的交集是实数集C．实数集与虚数集的交集是{0}D．纯虚数集与实数集的交集为空集[答案]C[解析]．[答案]C2．(1＋3)i的实部与虚部分别是()A．1，3B．1＋3，0C．0,1＋3D．0，(1＋3)i[解析](1＋3)i可看作0＋(1＋3)i＝a＋bi，所以实部a＝0，虚部b＝1＋3.3．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝()A．－1B．1C．±1D．不存在[答案]C[解析](a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1.二、填空题4．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝______[答案]5[解析]∵a－2i＝bi＋1∴a＝1b＝－2故a2＋b2＝5.5．方程2x2－3x－2＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解为x＝__________.[答案]2[解析]本题是求方程的实数解，因2x2－3x－2和x2－5x＋6都是实数，可由复数等于0的充要条件建立关系式求解由题意得2x2－3x－2＝0x2－5x＋6＝0解得x＝2或x＝12x＝2或x＝3∴x＝2.三、解答题6．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析](1)由m2－2m－15＝0，得知m＝5或m＝－3时，z为实数；(2)由m2－2m－15≠0，得知：m≠5且m≠－3时，z为虚数；(3)由m2－2m－15≠0，m2＋5m＋6＝0，得知：m＝－2时，z为纯虚数．