2017高考数学一轮总复习数列等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n项和知识点一等差数列的有关概念1.等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为.2同一个常数an＋1－an＝d3.通项公式2.等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么叫做a与b的等差中项且.(1)如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝.(2)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).A＝a＋b2a1＋(n－1)d，n∈N*A►三个定义[①等差数列的定义；②等差中项的定义；③等差数列的通项公式.](1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，则该数列的通项公式为an＝________.解析{an}为等差数列，a1＝1，公差d＝an＋1－an＝3.通项公式an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.答案3n－2(2)若m是1，5的等差中项，则logm9＝________.解析1＋5＝2m，m＝3，logm9＝log39＝2.答案2知识点二等差数列的前项和及性质n1.等差数列的前n项和已知条件首项a1，公差d首项a1，末项an选用公式Sn＝na1＋n（n－1）2dSn＝n（a1＋an）22.等差数列的性质数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则(1)若m＋n＝p＋q，则，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.am＋an＝ap＋aqkd►两个公式：①Sn＝na1＋n（n－1）2d；②Sn＝n（a1＋an）2解题时灵活选择应用.(3)等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，则前n项和公式为Sn＝________.解析a1＝2＋1＝3，Sn＝n（3＋2n＋1）2＝n2＋2n.答案n2＋2n►一个关系：等差数列与函数的关系.(4)[当公差不为0时，等差数列通项公式是一次函数，前n项和公式是不含常数项的二次函数，反之亦成立]数列{an}对应的点(n，an)在函数y＝2x－9的图象上，则{an}的前________项和最小.解析an＝2n－9，数列{an}是等差数列，由2n－9＜0得n＜4.5，即数列{an}的前4项的和最小.答案4突破等差数列基本量运算的方法(1)利用公式求解等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行.如果给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，d.如果再给出第三个条件，就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题.(2)利用性质求解，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立.【例1】(1)(2016·江西重点中学十校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝2，S10＝10，则a7的值为()A.0B.1C.2D.3(2)(2016·黑龙江哈六中模拟)已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于()A.30B.45C.90D.186解析(1)设等差数{an}的公差为d，由a4＝2，S10＝10得a1＋3d＝2，10a1＋10×9d2＝10，解得a1＝4，d＝－23，∴a7＝4＋6×－23＝0，故选A.答案(1)A(2)C(2)设等差数列{an}的公差为d，由题意得a1＋d＝6，a1＋4d＝15，解得a1＝3，d＝3，∴an＝3n.∴bn＝a2n＝6n，∴b1＝a2＝6，∴数列{bn}是首项为6，公差为6的等差数列.∴数列{bn}的前5项和S5＝5×6＋5×42×6＝90，故选C.[点评]利用等差数列的通项公式与前n项和公式列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法.等差数列的判定与证明解题方略(1)证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：①利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－an＝d(n∈N*)；②利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).(2)解选择题、填空题时，可用通项公式或前n项和公式直接判断：①通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列；②前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列.【例2】(2015·梅州调研)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1Sn＝2n，∴Sn＝12n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12（n－1）＝n－1－n2n（n－1）＝－12n（n－1）.当n＝1时，a1＝12不适合上式.故an＝12，n＝1，－12n（n－1），n≥2.[点评]解决an与Sn的关系式时，有两种途径：一是将an化为Sn，即an＝Sn－Sn－1，二是将Sn化为an，根据题目的形式灵活应用.等差数列前n项和的最值求解策略求等差数列前n项和的最值问题的方法：【例3】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米.解析答案2000[点评]每两个树坑间的距离都是10米，表示出每个树坑与第i个树坑间的距离，得出等差数列，然后求和，根据i的取值求出最小值.方程思想在等差数列中的应用【示例】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝8，S3＝6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和S＝72，求k的值.解(1)设等差数列{an}的公差为d.由题意可得a5＝a1＋4d＝8，S3＝3a1＋3d＝6，解得a1＝0，d＝2，则数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)Sn＝n[0＋（2n－2）]2＝n2－n，由Sk＝72，可得k2－k＝72，即k2－k－72＝0，解得k＝9或k＝－8(舍)，[方法点评]数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，等差数列的基本问题都可以根据这两个公式列出关于a1和d的方程(组)来求解，因此，方程思想是解决此类问题的关键