高一数学： 第8.1讲 两角和与差及二倍角的三角函数

两角和与差及二倍角的三角函数考点梳理sin(α±β)＝____________________________；cos(α∓β)＝___________________________；sin2α＝_____________；cos2α＝_____________＝____________＝__________；tan(α±β)＝________________.tanα±tanβ1∓tanαtanβsinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβ1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)_______________________；tan2α＝___________.2tanα1－tan2α3．有关公式的逆用、变形等(2)cos2α＝___________，sin2α＝____________；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.1＋cos2α21－cos2α2(1∓tanαtanβ)降角公式降幂公式公式变形【助学·微博】一个技巧拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.答案C考点自测1．(2013·上饶模拟)已知cosα＝35，α是第一象限角，则1＋2cos2α－π4sinα＋π2＝()．A.25B.75C.145D．－25解析∵cosα＝35且α是第一象限角，∴sinα＝45，原式＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝1－725＋242535＝145.2．(2012·重庆)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()．A．－3B．－1C．1D．3解析由题意可知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－3，选A.答案A3．(2011·辽宁)设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝()．A．－79B．－19C.19D.79解析sin2θ＝－cosπ2＋2θ＝2sin2π4＋θ－1＝2×132－1＝－79.4．(2011·浙江)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2等于()．A.33B．－33C.539D．－69答案C∵cosπ4－β2＝33，∴sinπ4－β2＝63.∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.解析∵0απ2，∴π4α＋π43π4.∵cosπ4＋α＝13，∴sinπ4＋α＝223.∵－π2β0，∴π4π4－β2π2.5．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.解析∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝3－3tan20°·tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.考向一三角函数式的化简【例1】►(1)化简1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.[审题视点](1)把角θ变为θ2入手，合理使用公式．(2)切化弦，通分，利用公式把非特殊角化为特殊角．解(1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2·sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2·sin80°＝2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．【训练1】化简下列各式：(1)12－1212＋12cos2αα∈3π2，2π＝________.(2)cos2α－sin2α2tanπ4－αcos2π4－α＝________.解析(1)原式＝12－121＋cos2α2＝12－12cos2α＝12－12|cosα|＝12－12cosα＝1－cosα2＝sinα2＝sinα2.(2)原式＝cos2α－sin2α2sinπ4－αcosπ4－α·cos2π4－α＝cos2α－sin2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.答案(1)sinα2(2)1例3若tan=3，求sin2cos2的值2222cossincossincossin2sin2cos2解：22tan11tantan257考向二三角函数的求值或求角问题【例2】►(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，[审题视点](1)拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．解(1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.(4)解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．(1)求tan2α的值；(2)求β.【训练2】已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，解(1)∵cosα＝17，0απ2，∴sinα＝437，∴tanα＝43，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－48＝－8347.(2)∵0βαπ2，∴0α－βπ2，∴sin(α－β)＝3314，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.跟踪训练(2)已知的值为________．tanx＋π4＝2，则tanxtan2x解析：(1)∵cosα＝－1213，α∈π，32π，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－－12132＝－513，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×－513×－1213＝120169，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×－5132＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝120119.(2)49已知tan2β＝tan2α＋1cos2α.求证：cos2α－2cos2β＝1.已知tan2β＝tan2α＋求证：cos2α－2cos2β＝1.分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它们的关系．3．求证：()sinx＋cosx－1()sinx－cosx＋1sin2x＝tanx2.分析：本题考查利用二倍角公式证明．(1)直接利用二倍角公式将原式化为的三角函数形式；(2)首先看分母，利用“1”与三角函数的关系，将已知条件化简后再向右边靠近．解析：∵1＋tan2β＝1＋tan2α＋1cos2α，∴1cos2β＝2cos2α，∴cos2α＝2cos2β，∴1＋cos2α2＝1＋cos2β，∴1＋cos2α＝2＋2cos2β，即得cos2α－2cos2β＝1.点评：有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左右两边的三角函数式的区别与联系，灵活使用条件变形即可得证．解析：解法一：()sinx＋cosx－1()sinx－cosx＋1sin2x＝2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2sin2x＝4sin2x2cosx2－sinx2cosx2＋sinx2sin2x＝4sin2x2cosx2sinxcosx＝sin2x2sinx2cosx2＝sinx2cosx2＝tanx2.解法二：()sinx＋cosx－1()sinx－cosx＋1sin2x＝()sinx＋cosx－1()sinx－cosx＋1()sinx＋cosx2－1＝()sinx＋cosx－1()sinx－cosx＋1()sinx＋cosx＋1()sinx＋cosx－1＝sinx－cosx＋1sinx＋cosx＋1＝2sinx2cosx2＋2sin2x22sinx2cosx2＋2cos2x2＝sinx2cosx2＝tanx2.点评：无条件的等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．不论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明的突破口．[审题视点](1)化简f(x)，由tanα＝2代入求f(α)；(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范围．考向三三角变换的简单应用【例3】►已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sinx＋π4·cosx＋π4＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin2x＋π2＝12＋12(sin2x－cos2x)＋cos2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12.由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2t