高一同步讲义 直线与圆

1授课主题圆的综合复习教学目的1．掌握和应用圆的基本性质。2．掌握直线与圆的位置关系，辅助线的添加方法和应用。3．圆与二次函数，圆与相似相结合的综合题型。教学重点圆的基本性质和应用教学内容.复习检查1，圆的定义：2，弦与弧：3，圆的对称性：．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．2第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r2．圆与圆的位置关系(两圆半径r1、r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[试一试]31．(2014·石家庄模拟)过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0，又直线x＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝02．(2013·北京东城模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0,则圆心C的坐标为________；若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k＝________.解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k|1＋k2＝1,解得k＝±24，根据切点在第四象限，可得k＝－24.答案：(3,0)－241．圆的切线问题(1)过圆x2＋y2＝r2(r＞0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公式为|MT|＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝|MC|2－r2(其中C为圆C的圆心，r为其半径)．2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l22＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[练一练]1．(2014·泉州模拟)过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为()A．x＋y＝0B．x－y＝0C．x＋y＝0或x－y＝0D．x＋3y＝0或x－3y＝0解析：选C圆x2－4x＋y2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k，则直线方程为y＝kx，则|2k|k2＋1＝2，∴k2＝1，∴k＝±1，∴直线方程为y＝±x.42．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10B．10或－68C．5或－34D．－68解析：选B∵弦长为8，圆的半径为5，∴弦心距为52－42＝3，∵圆心坐标为(1，－2)，∴|5×1－12×－2＋c|13＝3，∴c＝10或c＝－68.考点一直线与圆的位置关系1．(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选B由点M在圆外，得a2＋b2＞1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1，则直线与圆O相交．2．(2014·江南十校联考)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜1B．－4＜m＜2C．0＜m＜1D．m＜1解析：选C根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径．∵圆x2＋y2－2x－1＝0可化为(x－1)2＋y2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2，∴d＝|1－0＋m|2＜2，∴|m＋1|＜2，∴－3＜m＜1，由题意知m的取值范围应是(－3,1)的一个真子集，故选C.[类题通法]判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．5考点二切线、弦长问题[典例](1)(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0[解析]根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.[答案]A(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．[解析]最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为2r2－d2＝222－22＝22.[答案]22[类题通法]1．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．[针对训练](2014·济南模拟)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝3，则OA·OB的值是()A．－12B.12C．－34D．0解析：选A在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝3，可得∠AOB＝120°，所以OA·OB＝1×1×cos120°＝－12.考点三圆与圆的位置关系[典例](2014·郑州一检)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．[解析]由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1⊥AO2，在直角三角形AO1O2中，(25)2＋(5)2＝m2，∴m＝±5，|AB|＝2×25×55＝4.6[答案]4在本例条件下求AB所在的直线方程.解：由本例可知m＝±5.当m＝5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2＋10x＋5＝0.②②－①得，x＝－1，即AB所在直线方程为x＝－1.当m＝－5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2－10x＋5＝0.②②－①得，x＝1，即AB所在直线方程为x＝1.∴AB所在的直线方程为x＝1或x＝－1.[类题通法]1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[针对训练]与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为－2－22＋2－52＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.一，圆的弧，弦，圆心角定理：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别7【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】二，圆的圆周角定理：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是1、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】三，垂径定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】1.（2014•湖北宜昌,第12题3分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A．∠ACDB．∠ADBC．∠AEDD．∠ACB2.（2014•乐山，第9题3分）在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的值（）A.3或5B．5C．4或5D．43.（2014•丽水，第9题3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）8A．B．C．4D．34．(2014年贵州安顺，第10题3分)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．1C．2D．25、（2014•江西，第12题3分）如图，△ABC内接于⊙O，AO=2，23BC=，则∠BAC的度数_______变式练习：1．（2014•山西，第8题3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）9A．30°B．40°C．50°D．80°2.（2014•黑龙江龙东,第6题3分）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．3.（2014•湖南衡阳,第17题3分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为．4．(2014•陕西,第17题3分)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．5．（2014•四川成都,第14题4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=度．6．（2014•贵州黔西南州,第18题3分）如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=．101．（2014•黑龙江绥化,第22题6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．2.（（2014•黔南州，第24题10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满11足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求证：tan∠E=．变式练习1．（2014•湖北黄石,第19题7分）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．2、（2014•无锡，第22题8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．121..(2014年广西南宁，第18题3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为．2．（2014•青岛，第12题3分）如图，AB是⊙O的