2018届高三一轮复习讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理

1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．【知识拓展】1．三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(√)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形．(×)(5)在△ABC中，asinA＝a＋b－csinA＋sinB－sinC.(√)(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)1．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，C＝120°，则AC等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.2．(教材改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()A．52B．102C.1063D．56答案C解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得asinA＝csinC，即1032＝c22，∴c＝1063.3．在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2A2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，则△ABC是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形答案D解析sinB·sinC＝1＋cosA2，∴2sinB·sinC＝1＋cosA＝1－cos(B＋C)，∴cos(B－C)＝1，∵B、C为三角形的内角，∴B＝C，又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，综上，△ABC为等腰直角三角形．4．(2016·辽宁五校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝.答案2π3解析因为3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－35a＝75a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解得cosC＝－12，所以C＝2π3.5．(2016·济南模拟)在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为．答案43解析∵cosC＝13，0Cπ，∴sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝.答案1解析因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，B＋Cπ，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sin2π3＝b12，解得b＝1.(2)(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa＋cosBb＝sinCc.①证明：sinAsinB＝sinC；②若b2＋c2－a2＝65bc，求tanB.①证明根据正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入cosAa＋cosBb＝sinCc中，有cosAksinA＋cosBksinB＝sinCksinC，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC．所以sinAsinB＝sinC.②解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sinA＝1－cos2A＝45.由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以45sinB＝45cosB＋35sinB.故tanB＝sinBcosB＝4.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a＝bsinAsinB，b＝asinBsinA，c＝asinCsinA或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝asinBb，sinB＝bsinAa，sinC＝csinAa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(1)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba等于()A．23B．22C.3D.2(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cosAsinC，则b等于()A．6B．4C．2D．1答案(1)D(2)C解析(1)(边化角)由asinAsinB＋bcos2A＝2a及正弦定理，得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB＝2sinA，所以ba＝sinBsinA＝2.故选D.(2)(角化边)由题意，得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，即sinAcosC＝3cosAsinC，由正弦、余弦定理，得a·a2＋b2－c22ab＝3c·b2＋c2－a22bc，整理得2(a2－c2)＝b2，①又a2－c2＝b，②联立①②得b＝2，故选C.题型二和三角形面积有关的问题例2(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．(1)证明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解由S＝a24，得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.思维升华(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B.932C.332D．33答案C解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案(1)A(2)B解析(1)由cbcosA，得sinCsinBcosA，所以sinCsinBcosA，即sin(A＋B)sinBcosA，所以sinAcosB0，因为在三角形中sinA0，所以cosB0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．引申探究1．例3(2)中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状．解∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosBsinA，∴sin(A－B)＝0，又A，B为△ABC的内角．∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．2．例3(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状．解∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又0Cπ，∴C＝π3，又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．命题点2求解几何计算问题例4(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求sinBsinC；(2)若AD＝1，DC＝22，求BD和AC的长．解(1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得sinBsinC＝ACAB＝12.(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1.思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的