2018高考数学第一轮复习函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性1.奇函数、偶函数的定义与性质偶函数奇函数定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x_______________________性质图象关于____对称关于_____对称定义域关于_____对称单调性在关于原点对称的两个区间上有_____的单调性有_____的单调性图象与原点的关系若奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)=__f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点相反相同0原点(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_____．(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(3)设f(x)，g(x)有：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．奇、偶函数的性质相同相反3.周期性(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0;②____________对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个___________就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.f(x+T)=f(x)最小的正数最小的正数【规律小结】(1)周期性常用的结论：若f(x)在定义域内任一自变量的值x满足：①f(x＋a)＝f(x+b)，则T＝|b-a|②f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a③f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a④f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(2)周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到自变量值转换的作用，奇偶性起到调节符号的作用．(1)若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)为周期函数，若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数图像为轴对称图形．4．对称性(2)．函数f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)⇔f(2a－x)＝f(x)．4．(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)周期T＝2a.(2)若函数f(x)满足f(x＋a)＝1fx，则f(x)周期T＝2a.5．(1)若f(x)关于x＝a，x＝b都对称，且ab，则f(x)是周期函数且T＝2(b－a)．(2)若f(x)关于(a,0)，(b,0)都对称，且ab，则f(x)是周期函数，且T＝2(b－a)．(3)若f(x)关于(a,0)及x＝b都对称，且ab，则f(x)是周期函数，且T＝4(b－a)．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(2)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.()(3)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)关于直线x=a对称.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.()【解析】(1)错误.当奇函数的定义域不含0时，则图象不过原点.(2)错误.函数f(x)的定义域不关于原点对称.(3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称，则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0，0)中心对称，则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图象的对称中心是()(A)(1,0)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(0,-1)【解析】选B.函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，函数y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到，故函数y=f(x+1)的图象的对称中心为(-1，0).2.函数的图象关于()(A)y轴对称(B)直线y=-x对称(C)坐标原点对称(D)直线y=x对称【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，且∴函数f(x)是奇函数.故选C.1fxxx11fxx(x)fx,xx例：设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()．A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为()(A)-1(B)0(C)1(D)2【解析】选B.∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(8)=f(0).又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(8)=f(0)=0,故选B.4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞,0)上是减函数，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是()(A)a≤2(B)a≤-2或a≥2(C)a≥-2(D)-2≤a≤2【解析】选B.由题意知函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(-2)=f(2),故由f(a)≥f(2),得f(|a|)≥f(2),∴|a|≥2，解得a≥2或a≤-2.考向1函数奇偶性的判断【典例1】判断下列各函数的奇偶性.(1)(2)(3)1xfxx1.1x2lg1xfx.x2222xx,x0,fxxx,x0.＜＞【规范解答】(1)由得-1＜x≤1,因此函数的定义域为(-1，1］，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数.(2)由得-1＜x＜0或0＜x＜1.∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,∴又∴函数f(x)为奇函数.1x0,1x0,1x21x0,x22,＞2lg(1x)fx.x22lg1xlg(1x)fxfx,xx［］(3)显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，∵当x0时，-x0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x0时,-x0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.【规律方法】判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法：(2)图象法：【变式训练】(1)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R，则()(A)f(x)与g(x)均为偶函数(B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数(C)f(x)与g(x)均为奇函数(D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数【解析】选B.∵f(-x)=3-x+3x=f(x)，g(-x)=3-x-3x=-g(x)，∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数，故选B.(2)判断下列函数的奇偶性：①②24xfxx33；22x2,x0,fx0,x0,x2,x0.＞＜【解析】①由得-2≤x≤2且x≠0,∴函数f(x)的定义域关于原点对称，且x+3＞0,∴又∵∴函数f(x)为奇函数.24x0x33，，224x4xfx.x33x224x4xfxfx,xx（）②f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，-x＜0,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当x＜0时，-x＞0,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);当x=0时，f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x).故该函数为奇函数.考向2函数奇偶性的应用【典例2】(1)(2013·杭州模拟)已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)0,则不等式的解集为.(2)(2013·苏州模拟)“a=1”是“函数在其定义域上为_____函数xx2afx2a【规范解答】(1)因为f(x)是奇函数,所以不等式f(x-3)+f(x2-3)0等价于f(x2-3)-f(x-3)=f(3-x),又f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,所以解得2x,即不等式的解集为(2,).答案:(2,)22223x33,0x6,3x33,0x6,x33x,xx60,即666(2)当a=1时，此时=-f(x),∴f(x)是其定义域上的奇函数.当是其定义域上的奇函数时，f(-x)=-f(x),即从而“a=1”是“函数在其定义域上为奇函数”的充分不必要条件.答案：充分不必要xx21fx,21xxxxxx211221fx211221xx2afx2axxxxxxxx122a2aa21a,,a,a1.12a2aa2a2axx2afx2a【变式训练】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=()(A)-3(B)-1(C)1(D)3【解析】选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-［2×(-1)2+1］=-3.(2)已知函数为奇函数，则a+b=______.【解析】设x＞0,则-x＜0,∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x.又f(-x)=-f(x),∴x＞0时，f(x)=-f(-x)=-x2+x=ax2+bx,∴a=-1,b=1,∴a+b=0.答案：022xx,x0,fxaxbx,x0＞考向3函数的周期性及其应用【典例3】(1)(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x＜-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=()(A)335(B)338(C)1678(D)2012(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1，1］上，其中a,b∈R,若则a+3b的值为______.ax1,1x0,fxbx2,0x1,x1＜13f()f(),22【规范解答】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵当-3≤x＜-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2005)+f(2006)+…+f(2010)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(2010)=1×=335.而f(2011)+f(2012)=f(1)+f(2)=3,∴f(1)+f(2)+…+f(2012)=335+3=338.20106(2)因为f(x)的周期为2,所以即又因为所以∴3a+2b=-2①,又因为f(-1)=f(1),所以即b=-2a②,将②代入①，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3×(-4)=-10.答案：-10331f()f(2)f(),22211f()f().22b2111b42f()a1,f(),12223121b4a1,23b2a1,2【规律方法】判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.(2)则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期.(3)则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期.【提醒】应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.1fxa(a0),fx1fxa,fx【变式