2013年高考数学(理科)一轮复习课件第35讲：平面向量的数量积

考纲要求考纲研读1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.平面向量数量积的运算结果是数量，要熟悉数量积的性质和运算律，会用定义求平面向量的数量积，会利用数量积的几何意义解决向量的投影及夹角问题，熟悉两个向量平行与垂直关系时2的坐标表示．因为a·a＝|a|，所以|a|＝a·a，由此可知，要求向量的长度(模)，也要转化为数量积的形式.1．向量的数量积：a·b＝______________.|a|·|b|cosa，b2．向量的投影：向量b在a方向上的投影等于____.3．向量数量积的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________.x1x2＋y1y24．两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件是：a与b的夹角是锐角⇔_______且a与b不共线；a与b的夹角是钝角⇔_______且a与b不共线．a·b0a·b|a|a·b0B．－1．(2010年广东广州摸底)已知a＝(λ，2)，b＝(－4,10)，且a⊥b，则实数λ的值为(A.4545C．5D．－52．已知向量a＝cosθ，12的模为1，则cos2θ等于()A.12B．－12C．－18D.18)CAB3．(2011年广东揭阳二模)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，则AB→·AC→＝()A．－9B．9C．－16D．16解析：AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝|AC→|2＝9或AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA＝|AB→|·|AC→||AC|→|AB→|＝|AC→|2＝9.选B.4．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，则tanα＝____；若a⊥b，则tanα＝_____.解析：a∥b⇔3cosα＝4sinα⇒tanα＝34.a⊥b⇔3sinα＋4cosα＝0⇒tanα＝－43.34－435．(2010年广东广州六中月考)平面直角坐标系中a＝(1,2)，a·b＝5，|a＋b|＝32，则|b|等于_____.解析：(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋10＋|b|2＝18，所以|b|＝3.3考点1向量的数量积运算(1)求f(x)＝a·b的表达式；(2)求f(x)的最小值，并求此时a与b的夹角．例1：已知a＝13x2，x，b＝(x，x－3)，x∈[－4,4]．解析：(1)f(x)＝a·b＝13x2·x＋x·(x－3)＝13x3＋x2－3x，x∈[－4,4]．(2)f′(x)＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)．列表：x－4(－4，－3)－3(－3,1)1(1,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)203极大值9极小值－53763故当x＝1时，f(x)有最小值为－53.此时a＝13，1，b＝(1，－2)．设θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝－22.又由θ∈[0，π]，得θ＝3π4.(1)向量的数量积通常有两种计算方法：一是用坐标运算；二是用数量积的定义．(2)最值问题一般转化为函数的最值问题，因此解题关键在于寻找变量，此题就是用数量积构造出函数．【互动探究】1．如图8－2－1，在边长为1的正六边形ABCDEF中，下列向量的数量积中最大的是()A图8－2－1A.AB→·AC→B.AB→·AD→C.AB→·AE→D.AB→·AF→解析：AB→·AC→＝1×3×cos30°＝32，AB→·AD→＝1×2×cos60°＝1，AB→·AE→＝0，AB→·AF→0.选A.考点2向量的数量积的应用例2：已知平面向量a＝(3，－1)，b＝12，32，(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋4b，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)．解析：(1)证明：∵a·b＝3×12＋(－1)×32＝0.∴a⊥b.(2)∵x⊥y，∴x·y＝0，且a·b＝0，a2＝4，b2＝1.整理得－4k＋4(t2－3)＝0，∴k＝t2－3.(1)向量数量积可以处理平行和垂直问题．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；a∥b⇔x1y2＝x2y1.(2)向量的数量积可以处理夹角问题．注意用好公式cosθ＝a·b|a||b|.【互动探究】2．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝(sinB,1－cosB)与向量n＝(2,0)夹角的余弦角为12.求角B的大小．解：∵m＝(sinB,1－cosB)，n＝(2,0)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝12.即2sinB22－2cosB＝12.∴2cos2B－cosB－1＝0.解得cosB＝－12或cosB＝1(舍)．∵0Bπ，∴B＝2π3.考点3向量的数量积的在解析几何中的应用例3：已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8.(1)求椭圆C的方程；(2)M，N是直线x＝4上的两个动点，且1FM·2FN＝0.设E是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆E的位置关系．解析：(1)由题意设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意得：ca＝12，4a＝8，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(4，t1)，N(4，t2)，则1FM＝(5，t1)，2FN＝(3，t2)，OM＝(4，t1)，ON＝(4，t2)．∵1FM·2FN＝0，∴5×3＋t1t2＝0.∴OM·ON＝4×4＋t1t2＝16－15＝10，故∠MON为锐角．∴原点O在圆E外．(1)同弧的圆周角、圆外角和圆内角中，圆内角最大，圆外角最小．当圆周角为直角时，只要判断这个角是锐角还是钝角即可知道该点是在圆内还是圆外．(2)在解析几何中，两个向量相等通常转化为两个分量相等．(3)在解析几何中的向量，通常要清楚向量的几何意义；如垂直问题，平分问题，平行问题，等份问题等．【互动探究】3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足MB∥OA，MA·AB＝MB·BA，M点的轨迹为曲线C.求C的方程．解：设点M的坐标为(x，y)．∵MB∥OA，∴点B的坐标为(x，－3)．则MA＝(－x，－1－y)，AB＝(x，－2)，MB＝(0，－3－y)，BA＝(－x,2)．由MA·AB＝MB·BA得－x2＋2＋2y＝－6－2y，化简得y＝14x2－2.故曲线C的方程为y＝14x2－2.易错、易混、易漏15．向量中错误使用充要条件造成问题解答不全例题：已知向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)．(1)若向量a与b的夹角为直角，求实数m的值；(2)若向量a与b的夹角为钝角，求实数m的取值范围．(2)若向量a与b的夹角为钝角，则a·b0，且a与b不共线．则(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)0，且(m－2)(m－2)－(m＋3)(2m＋1)≠0.解得－43m55－112或55－112m2.∴实数m的取值范围是－43m55－112或55－112m2.正解：(1)若a与b的夹角为直角，则a·b＝0.(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)＝0.∴m＝－43或2.∴实数m的值为－43或2.0，相当于夹角的【失误与防范】两个向量a·b0等价于|a·ba||b|余弦值小于零，我们知道，cosπ＝－10，所以a·b0中包括了两个向量反向共线和夹角为钝角两种情况．同理以a·b0中包括了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况．这两点在解题中要特别注意．1．平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点，用数量积可以处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题．2．向量的数量积可以用坐标运算也可以用定义计算，有时要建立平面直角坐标系，将向量的数量积转化为坐标运算．3．用数量积处理几何问题时，首先要明白有关向量的几何意义．1．用向量处理角的问题时要注意两点：一是要注意角的取值范围；二是要知道角是直角、锐角、钝角的充要条件．2．向量数量积不满足消去律：如a·b＝a·c不能得到b＝c.