2013届高三数学二轮复习课件 专题2 第4讲 导数及其应用

•1．导数的概念及其几何意义•(1)了解导数概念的实际背景．•(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数的定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x3，y＝1x，y＝x2，y＝x的导数.(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．•3．导数在研究函数中的应用•(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．•(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，会求在闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值．•4．生活中的优化问题•会利用导数解决某些实际问题．•5．定积分与微积分基本定理(理)•(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．•(2)了解微积分基本定理的含义．•本部分内容在高考中所占分数大约在10%左右．导数及其应用在高考中的题型分布大致是一个选择或填空，一个解答题，分值约17～19分，属于高考重点考查内容．具体考查体现在：•(1)简单函数求导，它是解决导数问题的第一步，应熟记导数基本公式，导数四则运算法则和复合函数求导法则．•(2)求曲线的切线方程，切线斜率的一类问题，包括曲线的切点问题．这类问题是导数几何意义的运用，拓宽了解析几何的解题思路，凸显了数形结合的数学思想方法．•(3)应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题．这类问题往往通过对函数求导转化为解不等式问题．此处大多以考查含参二次不等式(组)为主.•(4)应用导数求函数的极值、最值和值域问题．这类问题与函数单调性有着必然联系，解决这类问题可借助单调性列表(或画函数示意图)求解．•(5)不等式恒成立问题．这类问题是近几年高考的热点．一类是求参数取值范围，它是函数、导数与不等式的综合问题．另一类是证明不等式．它对综合分析和运用的能力要求较高．•(6)(理)对定积分部分的考查以利用微积分基本定理求定积分和曲边平面图形面积为主，高考出题较少，一般是一个小题，只对理科学生有要求．•2．导数的几何意义•(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．•(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．1．导数的定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.3．导数的计算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；②(xm)′＝mxm－1；③(sinx)′＝cosx;④(cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex;⑥(ax)′＝axlna；⑦(lnx)′＝1x；⑧(logax)′＝－1xlna.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[fxgx]′＝f′xgx－fxg′xg2x.④(理)(f(u))′＝f′(u)·φ′(x)＝af′(ax＋b)•4．函数的性质与导数•在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．•在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．•5．导数的应用•(1)求可导函数f(x)极值的步骤•①求导数f′(x)；•②求方程f′(x)＝0的根；•③检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．•(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤•①求f′(x)；•②求方程f′(x)＝0的根(注意取舍)；•③求出各极值各区间端点处的函数值；•④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．•(3)利用导数解决优化问题的步骤•①审题设未知数；②结合题意列出函数关系式；③确定函数的定义域；④在定义域内求极值、最值；⑤下结论．•(4)定积分在几何中的应用(理)•被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(ab)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.①当f(x)0时，S＝abf(x)dx；②当f(x)0时，S＝－abf(x)dx；③当x∈[a，c]时，f(x)0；当x∈[c，b]时，f(x)0，则S＝acf(x)dx－cbf(x)dx.•[分析](1)利用y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程建立a和b之间的关系式，即可求出f(x)的解析式．•(2)先求出过任一点P(x0，y0)的切线方程，然后求解．[例1]设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析](1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋3x20)(x－x0)，即y－(x0－3x0)＝(1＋3x20)(x－x0)．令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12|－6x0||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.•[评析](1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”．•(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(文)(2011·宁波模拟)已知曲线y＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程；(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[解析](1)∵y′＝－1x2.又P(1,1)是曲线上的点，∴P是切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P点处的切线方程为y－1＝－(x－1)．即y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上，则可设过该点的切线的切点为A(a，1a)，则该切线斜率为k1＝f′(a)＝－1a2.则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①将Q(1,0)代入方程①得0－1a＝－1a2(1－a)，解得a＝12，故所求切线方程为y＝－4x＋4.(3)设切点坐标为A(a，1a)，则切线的斜率为k2＝－1a2＝－13，解得a＝±3，∴A(3，33)或A′(－3，－33)．代入点斜式方程得y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)．即切线方程为x＋3y－23＝0或x＋3y＋23＝0.•[评析](1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．•(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以本题的易错点是把点Q作为切点．求过点P的切线方程时，首先是检验点P是否在已知曲线上．(理)已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.0，π4B.π4，π2C.π2，3π4D.3π4，π[答案]D[解析]y＝4ex＋1，∴y′＝－4·exex＋12＝－4exe2x＋2ex＋1＝－4ex＋1ex＋2，∵ex＋1ex≥2，∴－1≤y′0，由导数的几何意义知3π4≤απ，故选D.•[例2](文)(2011·北京文，18)已知函数f(x)＝(x－k)ex.•(1)求f(x)的单调区间；•(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．•[分析]依据导数的符号来判断函数的单调性，再由单调性求最值．•[解析](1)f′(x)＝(x－k＋1)ex•令f′(x)＝0，得x＝k－1.•f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：•所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；•单调递增区间是(k－1，＋∞)，x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ex－1•(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；•当0k－11，即1k2时，•由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；•当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.•[评析]本题主要考查导数的应用以及综合运用有关知识解决问题的能力．•(理)(2011·北京理，18)已知函数f(x)＝(x－k)2exk.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围．•[分析]本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性．•(1)问，利用导函数大于(小于)零，解不等式求得函数的单调区间(注意参数k的取值对单调区间的影响)．(2)问把不等式恒成立求参数的范围问题，转化为求函数f(x)的区间(0，＋∞)上的最值，注意对k分k0，k0两种情况进行分类讨论．[解析](1)f′(x)＝1k(x2－k2)exk，令f′(x)＝0，得x＝±k.当k0时，f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，－k)－k(－k，k)k(k，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)4k2e－10•所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．•当k0时，f(x)与f′(x)的情况如下：•所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．x(－∞，k)k(k，－k)－k(－k，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04k2e－1(2)当k0时，因为f(k＋1)＝ek＋1k1e，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e.当k0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e.所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e等价于f(－k)＝4k2e≤1e.解得－12≤k0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时，k的取值范围是[－12，0)．•[评析]讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．•(2011·南京二模)已知函数f(x)＝x3－ax－1.•(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；•(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；•(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．•[解析](1)由已知f′(x)＝3x2－a，•∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，•∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，•即a≤3x2时，对x∈R恒成立．•∵3x2≥0，∴只需a≤0，•又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.•(2)由f′(x)＝3x2－a≤0，在(－1,1)上恒成立，•得a≥