2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件：2-2-2 反证法

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-2第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订第二章推理与证明第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订2.2直接证明与间接证明第二章第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订第二章第2课时反证法第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订学习要点点拨课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业课堂巩固练习第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订课程目标解读第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订1．了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点．2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订重点难点展示第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．本节难点：应用反证法解决问题．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订学习要点点拨第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订一、反证法证题的原理1．反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．2．用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订二、用反证法证明数学命题的步骤第一步：审题，分清命题的条件和结论；第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订三、反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：1．结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；2．关于唯一性、存在性的命题；3．结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；4．结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订四、应用反证法的注意事项1．用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法．2．注意否定命题时，要准确无误．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订3．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“綈q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订4．用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与已知条件矛盾；(4)与公认的简单事实矛盾．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订课前自主预习第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题，这样的证明方法叫做反证法．反证法是的一种基本方法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与、事实矛盾等．正确的推理矛盾错误成立间接证明已知条件假设定义、公理、定理第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订课堂典例讲练第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订思路方法技巧[例1]求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．命题方向用反证法证明直接证明不易入手的问题第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．(2)b∥平面α.则平面α内有直线b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．综上所述，b与平面α只能相交．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[点评]直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]假设p＋q2，那么p2－q，所以p3(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋60，即6(q－1)20.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[点评]本题已知条件为p，q的三次幂，而结论中只有p，q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订命题方向用反证法证明“至多”、“至少”类命题[例2]若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.因为π－30，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故假设错误．因此a，b，c中至少有一个大于0.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[点评]该命题中有“至少……”，直接证明分类比较复杂，很难证明，故可采用反证法．当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订设a、b、c都是小于1的正数，求证(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a三个数不可能同时大于14.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]假设三个数都大于14，即(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14，三个数相乘，得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a＞164.又因为(1－a)·a＜(1－a＋a2)2＝14，(1－b)·b＜14，(1－c)·c＜14，所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c＜164.这与假设矛盾，因此假设不成立．所以(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a不可能同时大于14.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订命题方向用反证法证明存在性、唯一性命题[例3]求证：方程2x＝3有且只有一个根．[分析]本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法．建模应用引路第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)．则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.∵b1≠b2，∴b1－b2≠0.如果b1－b20，则2b1－b21，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b20，则2b1－b21，这与2b1－b2＝1相矛盾．所以假设不成立．从而2x＝3的根是唯一的．故2x＝3有且只有一个根．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[证明]∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a、b、m有一个平面α第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订探索延拓创新[例4]求证：若x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根，则bc≠0.命题方向用反证法证明否定性命题第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]假设bc＝0，则有三种情况出现：(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但当c≠0时x2＋c2≠0与x2＋c2＝0矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与已知条件：方程有两个非零实根矛盾．综上所述，bc≠0.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.而b2＝ac，即b＝ac，则有a＋c＋2ac＝4ac.即(a－c)2＝0.所以a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列.第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订名师辨误做答[例5]已知a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0，求证：a0，b0，c0.[错解]假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c0，abc0矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．第二章2.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[辨析]错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a0，