2014・高三复习数学(理)2选修4-5 1讲 不等式选讲

第1页选修4-5第1讲选修4－5不等式选讲第2页选修4-5第1讲第1讲绝对值不等式第3页选修4-5第1讲不同寻常的一本书，不可不读哟！第4页选修4-5第1讲1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.第5页选修4-5第1讲1个重要公式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．第6页选修4-5第1讲2点必须注意1.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|m或|x－a|＋|x－b|m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2.含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|进行放缩．第7页选修4-5第1讲3种必会方法1.分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．2.更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．3.数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题.第8页选修4-5第1讲课前自主导学第9页选修4-5第1讲1.绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)形如|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式①绝对值不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a__________∅∅|x|a__________{x|x≠0}R第10页选修4-5第1讲②|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔________(c0)，|ax＋b|≥c⇔__________(c0)．第11页选修4-5第1讲解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么？第12页选修4-5第1讲(1)不等式|2x＋1|≤3的解集是________．(2)不等式|x＋1||x＋2|≥1的解集是________．第13页选修4-5第1讲2．绝对值不等式的应用(1)定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当________时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.③||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.第14页选修4-5第1讲如何求两个或两个以上绝对值和的函数最小值或两绝对值差的函数最大值？第15页选修4-5第1讲(1)函数y＝|x－1|＋|x－2|的最小值为________．(2)函数y＝|x|－|x－3|的最大值为________.第16页选修4-5第1讲1.{x|－axa}{x|xa或x－a}－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c想一想：提示：关键是根据绝对值的意义或性质去掉绝对值．填一填：(1){x|－2≤x≤1}(2){x|x≤－32，且x≠－2}第17页选修4-5第1讲2．ab≥0想一想：提示：关键是根据含绝对值不等式定理或性质转化，消去自变量x.填一填：(1)1(2)3第18页选修4-5第1讲核心要点研究第19页选修4-5第1讲例1[2012·湖南高考]不等式|2x＋1|－2|x－1|0的解集为________．[审题视点]应用零点分段法，不等式分情况讨论去掉绝对值符号；也可移项两边平方解不等式．第20页选修4-5第1讲[解析]方法一：原不等式可化为：x≤－12，－30或－12x1，4x1或x≥1，30，∴∅或14x1或x≥1，∴不等式解集为{x|x14}．第21页选修4-5第1讲方法二：由|2x＋1|－2|x－1|0，得|2x＋1|2|x－1|，平方，得12x3，x14.∴解集为{x|x14}．[答案]{x|x14}第22页选修4-5第1讲1．形如|x＋a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2．上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义去求解集．第23页选修4-5第1讲[变式探究]若不等式|2x－a|＋a≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值．解：由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a.所以a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3.由不等式的解集为{x|－2≤x≤3}，知a－3＝－2，所以a＝1.第24页选修4-5第1讲例2[2012·江苏高考]已知实数x，y满足：|x＋y|13，|2x－y|16，求证：|y|518.[证明]因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|13，|2x－y|16，从而3|y|23＋16＝56，所以|y|518.第25页选修4-5第1讲奇思妙想：本例条件不变，问题改为“|x－5y|43”，该如何证明？证明：令x－5y＝m(x＋y)＋n(2x－y)，则有m＋2n＝1，m－n＝－5，∴m＝－3，n＝2，∴|x－5y|＝|－3(x＋y)＋2(2x－y)|≤3|x＋y|＋2|2x－y|，由题知|x＋y|13，|2x－y|16，从而|x－5y|43.第26页选修4-5第1讲含绝对值不等式的证明题主要分两类，一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．第27页选修4-5第1讲[变式探究]设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54.证明：证法一：∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－|x|－122＋54≤54.第28页选修4-5第1讲证法二：设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1，当x＝±1即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤54；当－1x1即x2－10时，g(a)＝ax2＋x－a是单调递减函数．第29页选修4-5第1讲∵|a|≤1，∴－1≤a≤1.∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－x－122＋54；g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝x＋122－54.∴|f(x)|＝|g(a)|≤54.第30页选修4-5第1讲例3[2012·辽宁高考]已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若fx－2fx2≤k恒成立，求k的取值范围．[审题视点](1)先解绝对值不等式，注意对字母a的讨论，然后利用集合相等求a；(2)不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，将原函数转化为分段函数求最大值．第31页选修4-5第1讲[解](1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a0时，－4a≤x≤2a，得a＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2fx2＝|2x＋1|－2|x＋1|，则h(x)＝1，x≤－1，－4x－3，－1x－12，－1，x≥－12，所以|h(x)|≤1，因此k≥1.第32页选修4-5第1讲不等式有解是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面(如f(x)m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立⇔af(x)max，f(x)a恒成立⇔af(x)min.第33页选修4-5第1讲[变式探究]已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a0)．(1)当a＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式在[－π2，＋∞)内有解，求实数a的取值范围．第34页选修4-5第1讲解：(1)当a＝4时，不等式即为|2x＋1|－|x－1|≤2，当x－12时，－x－2≤2，得－4≤x－12，当－12≤x≤1时，3x≤2，得－12≤x≤23，当x1时，x≤0，此时x不存在．∴不等式的解集为{x|－4≤x≤23}．第35页选修4-5第1讲(2)∵设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝－x－2，x－12，3x，－12≤x≤1，x＋2，x1，∴f(x)∈[－32，＋∞)，即f(x)的最小值为－32.若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－32，解得a≥24，即a的取值范围是[24，＋∞)．第36页选修4-5第1讲经典演练提能第37页选修4-5第1讲1.不等式1|x＋1|3的解集为()A.(－4，－2)B.(0,2)C.(－4,2)D.(－4，－2)∪(0,2)答案：D解析：原不等式可化为|x＋1|1|x＋1|3⇒x＋11或x＋1－1－3x＋13⇒x0或x－2－4x2⇒－4x－2或0x2.第38页选修4-5第1讲2.[2013·皖南八校联考]不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A.[－1,4]B.(－1,4]C.[－1,4)D.(－1,4)答案：A解析：y＝|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，∴a2－3a≤4.∴－1≤a≤4，选A项．第39页选修4-5第1讲3.[2012·广东高考]不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为_______．答案：{x|x≤－12}解析：原不等式等价于x≥0，x＋2－x≤1或－2x0，x＋2＋x≤1或x≤－2，－x－2＋x≤1，解之得x≤－12.所以不等式的解集为{x|x≤－12}．第40页选修4-5第1讲4.[2012·陕西高考]若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．答案：－2≤a≤4解析：在数轴上确定点1，再移动点a的位置，观察a点的位置在－2和4的位置时是边界位置，所以－2≤a≤4.第41页选修4-5第1讲5.[2013·宝鸡统考]已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．第42页选修4-5第1讲解：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以a－3＝－1，a＋3＝5，解得a＝2.(2)∵a＝2∴f(x)＝|x－2|.