高中数学-1.1正弦定理和余弦定理教案(3)-新人教A版必修5

用心爱心专心1正弦定理、余弦定理（1）教学目的：⑴使学生掌握正弦定理⑵能应用解斜三角形，解决实际问题奎屯王新敞新疆教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角奎屯王新敞新疆那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定理二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（R为△ABC外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=ca，sinB=cb，sinC=1即c=Aasin，c=Bbsin，c=Ccsin．∴Aasin=Bbsin=Ccsin2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=AbcBacCabsin21sin21sin21两边同除以abc21即得：Aasin=Bbsin=Ccsin证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴RCDDaAa2sinsin同理Bbsin=2R，Ccsin＝2R证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=ABabcOBCAD用心爱心专心2两边同乘以单位向量j得j•(AC+CB)=j•AB则j•AC+j•CB=j•AB∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A)∴AcCasinsin∴Aasin=Ccsin同理，若过C作j垂直于CB得：Ccsin=Bbsin∴Aasin=Bbsin=Ccsin正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角奎屯王新敞新疆（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Abababababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH⑵若A为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解ba三、讲解范例：例1已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000解：0030,45,10CAc∴00105)(180CAB由CcAasinsin得21030sin45sin10sinsin00CAca用心爱心专心3由CcBbsinsin得25654262075sin2030sin105sin10sinsin000CBcb例2在CAacBbABC,,1,60,30和求中，解：∵21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb00090,30,,60,BCCBCBcb为锐角，∴222cba例3CBbaAcABC,,2,45,60和求中，解：23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,sin或CcaAc1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75,13CBb00120,15,13CBb例4已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDCBCABDADABDABsinsin,sinsin，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论奎屯王新敞新疆证明：在△ABD内，利用正弦定理得：ABDADBADABABDADADBABsinsinsinsin即在△BCD内，利用正弦定理得：.sinsin,sinsinDBCBDCDCBCDBCDCBDCBC即∵BD是B的平分线奎屯王新敞新疆∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC奎屯王新敞新疆用心爱心专心4∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴CDBCDBCBDCABDADBADABsinsinsinsin∴DCADBCAB评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1奎屯王新敞新疆在△ABC中，kCcBbAasinsinsin,则k为()A奎屯王新敞新疆2RB奎屯王新敞新疆RC奎屯王新敞新疆4RD奎屯王新敞新疆R21(R为△ABC外接圆半径)2奎屯王新敞新疆△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A奎屯王新敞新疆B奎屯王新敞新疆C奎屯王新敞新疆等边三角形D奎屯王新敞新疆等腰三角形3奎屯王新敞新疆在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A奎屯王新敞新疆充分不必要条件B奎屯王新敞新疆必要不充分条件C奎屯王新敞新疆充要条件D奎屯王新敞新疆既不充分也不必要条件4奎屯王新敞新疆在△ABC中，求证：2222112cos2cosbabBaA参考答案：1奎屯王新敞新疆A，2奎屯王新敞新疆A3奎屯王新敞新疆C4奎屯王新敞新疆BbAasinsinbBaAsinsin22)sin()sin(bBaA2222sinsinbBaA222cos12cos1bBaA2222112cos2cosbabBaA五、小结正弦定理，两种应用六、课后作业：1奎屯王新敞新疆在△ABC中，已知)sin()sin(sinsinCBBACA，求证：a2，b2，c2成等差数列奎屯王新敞新疆证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C22cos122cos122cos12BAB∴2sin2B＝sin2A＋sin2C由正弦定理可得2b2＝a2＋c2即a2，b2，c2成等差数列奎屯王新敞新疆七、板书设计（略）八、课后记：用心爱心专心5课题：正弦定理、余弦定理（2）教学目的：1．掌握正弦定理、余弦定理；2．使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题奎屯王新敞新疆教学重点：正弦定理、余弦定理的运用奎屯王新敞新疆教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1奎屯王新敞新疆正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（R为△ABC外接圆半径）2奎屯王新敞新疆正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角奎屯王新敞新疆（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Abababababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH⑵若A为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解ba3．在Rt△ABC中(若C=90)有：222bac在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、讲解新课：1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦用心爱心专心6的积的两倍奎屯王新敞新疆即Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos222[问题]对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？[推导]如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b奎屯王新敞新疆∵ACABBC∴()()ACACABBCABBC222ABABBCBC222||||cos(180)ABABBCBBC22cos2aBacc即Bacacbcos2222同理可证Abccbacos2222，Cabbaccos22222．余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C奎屯王新敞新疆解：∵bcacbA2cos222＝0奎屯王新敞新疆725，∴A≈44°∵abcbaC2cos222＝0奎屯王新敞新疆8071，∴C≈36°,∴B＝180°－(A＋C)≈100°奎屯王新敞新疆(∵sinC＝aAcsin≈0奎屯王新敞新疆5954,∴C≈36°或144°(舍)奎屯王新敞新疆)cabABC用心爱心专心7例2在ΔABC中，已知a＝2奎屯王新敞新疆730，b＝3奎屯王新敞新疆696，C＝82°28′，解这个三角形奎屯王新敞新疆解：由Cabbaccos2222，得c≈4奎屯王新敞新疆297奎屯王新敞新疆∵bcacbA2cos222≈0奎屯王新敞新疆7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′奎屯王新敞新疆(∵sinA＝cCasin≈0奎屯王新敞新疆6299，∴A=39°或141°(舍)奎屯王新敞新疆)例3ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A奎屯王新敞新疆解法一：∵|AB|＝73)85()]2(6[22|BC|＝85)18()42(22|AC|＝52)15()46(22ACABBCACABA2cos222=3652∴A≈84°奎屯王新敞新疆解法二：∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4)奎屯王新敞新疆∴cosA＝ABACABAC=36525273)4(3)2()8(,∴A≈84°奎屯王新敞新疆例4设a=(x1,y1)b=(x2,y2)a与b的夹角为（0≤≤），求证：x1x2+y1y2=|a||b|cos证明：如图，设a,b起点在原点，终点为A，B则A=(x1,y1)B=(x2,y2)AB=ba在△ABC中，由余弦定理|ba|2=|a|2+|b|22|a||b|cos∵|ba|2=|AB|2=|(x2-x1,y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2|a|2=x12+y12，|b|2=x22+y22∴(x2-x1)2+(y2-y1)2=x12+y12+x22+y222|a||b|cos87654321-4-22468CBA用心爱心专心8∴x1x2+y1y2=|a||b|cos即有a•b=x1x2+y1y2=|a||b|cos四、课堂练习：1奎屯王新敞新疆在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为()A奎屯王新敞新疆直角三角形B奎屯王新敞新疆C奎屯王新敞新疆D奎屯王新敞新疆等边三角形2奎屯王新敞新疆在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a