2008年浙江高考理科数学试题与答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式24πSR()()()PABPAPB其中R表示球的半径如果事件AB，相互独立，那么球的体积公式34π3VR()()()PABPAPB其中R表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概率是p那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：()(1)kknknnPkCpp一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a是实数，1aii是纯虚数，则a（）A．1B．1C．2D．22．已知UR，|0Axx，|1Bxx≤，则)()(BCBBCAUU（）A．B．|0xx≤C．|1xxD．|01xxx或≤3．已知ab，都是实数，那么“22ab”是“ab”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．在(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中，含4x的项的系数是（）A．15B．85C．120D．2745．在同一平面直角坐标系中，函数3πcos22xy（[02π]x，）的图象和直线12y的交点个数是（）A．0B．1C．2D．46．已知na是等比数列，22a，514a，则12231nnaaaaaa（）A．16(14)nB．16(12)nC．32(14)3nD．32(12)3n7．若双曲线22221xyab的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是（）A．3B．5C．3D．58．若cos2sin5，则tan（）A．12B．2C．12D．29．已知，ab是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0acbc，则c的最大值是（）A．1B．2C．2D．2210．如图，AB是平面的斜线段．．．，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP△的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线ABP（第10题）2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）第Ⅱ卷（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知0a，若平面内三点23(1)(2)(3)AaBaCa，，，，，共线，则a．12．已知12FF，为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于AB，两点，若2212FAFB，则AB．13．在ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，．若(3)coscosbcAaC，则cosA．14．如图，已知球O的面上四点ABCD，，，，DA平面ABC，ABBC，3DAABBC，则球O的体积等于．15．已知t为常数，函数22yxxt在区间[03]，上的最大值为2，则t．16．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）17．若00ab，≥≥，且当001xyxy，，≥≥≤时，恒有1axby≤，则以ab，为坐标的点()Pab，所形成的平面区域的面积等于．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本题14分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF∥，90BCFCEF，3AD，2EF．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？ABCD（第14题）DABEFC（第18题）19．（本题14分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．（Ⅰ）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望E．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．20．（本题15分）已知曲线C是到点1328P，和到直线58y距离相等的点的轨迹．l是过点(10)Q，的直线，M是C上（不在l上）的动点；AB，在l上，MAl，MBx轴（如图）．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求出直线l的方程，使得2QBQA为常数．21．（本题15分）已知a是实数，函数()()fxxxa．（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设()ga为()fx在区间[02]，上的最小值．（ⅰ）写出()ga的表达式；（ⅱ）求a的取值范围，使得6()2ga≤≤．ABOQyxlM（第20题）22．（本题14分）已知数列na，0na≥，10a，22*111()nnnaaanN．记：12nnSaaa，112121111(1)(1)(1)(1)(1)nnTaaaaaa．求证：当*nN时，（Ⅰ）1nnaa；（Ⅱ）2nSn；（Ⅲ）3nT2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分1．A2．D3．D4．A5．C6．C7．D8．B9．C10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．11．1212．813．3314．9π215．116．4017．1三、解答题18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．方法一：（Ⅰ）证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，所以ADEG∥，从而四边形ADGE为平行四边形，故AEDG∥．因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连结AH．由平面ABCD平面BEFC，ABBC，得AB平面BEFC，从而AHEF．所以AHB为二面角AEFC的平面角．在RtEFG△中，因为3EGAD，2EF，所以60CFE，1FG．又因为CEEF，所以4CF，从而3BECG．于是33sin2BHBEBEH．因为tanABBHAHB，所以当AB为92时，二面角AEFC的大小为60．方法二：如图，以点C为坐标原点，以CBCF，和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz．DABEFCHGDABEFCyzx设ABaBEbCFc，，，则(000)C，，，(30)Aa，，，(300)B，，，(30)Eb，，，(00)Fc，，．（Ⅰ）证明：(0)AEba，，，(300)CB，，，(00)BEb，，，所以0CBCE，0CBBE，从而CBAE，CBBE，所以CB平面ABE．因为CB平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF．故AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：因为(30)EFcb，，，(30)CEb，，，所以0EFCE，||2EF，从而23()03()2bcbcb，，解得34bc，．所以(330)E，，，(040)F，，．设(1)nyz，，与平面AEF垂直，则0nAE，0nEF，解得33(13)na，，．又因为BA平面BEFC，(00)BAa，，，所以2||331|cos|2||||427BAnanBABAnaa，，得到92a．所以当AB为92时，二面角AEFC的大小为60．19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则2102107()19xCPAC，得到5x．故白球有5个．（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是0123P112512512112的数学期望155130123121212122E．（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得25yn，所以2yn，21yn≤，故112yn≤．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则23()551yPBn231755210≤．所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n，红球的个数少于5n．故袋中红球个数最少．20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．（Ⅰ）解：设()Nxy，为C上的点，则2213||28NPxy，N到直线58y的距离为58y．由题设得22135288xyy．化简，得曲线C的方程为21()2yxx．（Ⅱ）解法一：设22xxMx，，直线:lykxk，则ABOQyxlM()Bxkxk，，从而2||1|1|QBkx．在RtQMA△中，因为222||(1)14xQMx，2222(1)2||1xxkMAk．所以222222(1)||||||(2)4(1)xQAQMMAkxk.2|1||2|||21xkxQAk，222||2(1)112||||QBkkxQAkxk．当2k时，2||55||QBQA，从而所求直线l方程为220xy．解法二：设22xxMx，，直线:lykxk，则()Bxkxk，，从而2||1|1|QBkx．过Q(10)，垂直于l的直线11:(1)lyxk．因为||||QAMH，所以2|1||2|||21xkxQAk，222||2(1)112||||QBkkxQAkxk．当2k时，2||55||QBQA，ABOQyxlMHl1从而所求直线l方程为220xy．21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．（Ⅰ）解：函数的定义域为[0)，，3()22xaxafxxxx（0x）．若0a≤，则()0fx，()fx有单调递增区间[0)，．若0a，令()0fx，得3ax，当03ax时，()0fx，当3ax时，()0fx．()fx有单调递减区间03a，，单调递增区间3a，．（Ⅱ）解：（i）若0a≤，()fx在[02]，上单调递增，所以()(0)0gaf．若06a，()fx在03a，上单调递减，在23a，上单调递增，所以2()333aaagaf．若6a≥，()fx在[02]，上单调递减，所以()(2)2(2)gafa．综上所述，002()06332(2)6aaagaaaa，≤，，，，≥．（ii）令6()2ga≤≤．若0a≤，无解．若06