第九章-多元线性回归异方差问题

1一、异方差及其影响1、异方差的定义：对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。异方差可以表示为。或2iiVar22221nEVarεεεΩ2两变量线性回归模型的异方差Y0XiXjX31、异方差的定义异方差主要出现在截面数据分析中，例如大公司的利润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大，即大公司利润的方差比小公司利润的方差大。这取决于公司的规模、产业特点和研究开发支出多少等因素。又如高收入家庭通常比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。例6-1：人均家庭支出（cum)和可支配收入（in)的关系模型给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交通及通讯支出（cum)和可支配收入（in)的数据，估计两者之间的关系模型42、异方差的影响1、OLS估计量不再是BLUE，其是无偏和一致的，但并非有效的，即不再具有方差最小性。2、检验假设的统计量不再成立，建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检验不可靠。5二、异方差的发现和判断（一）残差的图形检验（二）帕克检验（Parktest）（三）戈里瑟检验（Glejsertest）（四）怀特检验（Whitetest）6（一）残差的图形检验这是一种最直观的方法，它以某一变量（通常取因变量）作为横坐标，以随机项的估计量e或e2为纵坐标，根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残差序列，再把它和因变量一起绘制散点图。例6-2：利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量的模型中QMG与残差的散点图。7（二）Breusch-Pagan检验假设回归模型如下：检验假定线性函数(1)22110uxxxYkk(2)221102vxxxukk8步骤：1、作普通最小二乘回归（1），不考虑异方差问题。2、从原始回归方程中得残差ui，并求其平方。3、利用原始模型中的解释变量作形如上式(2)的回归，记下这个回归的R平方。4、检验零假设是对方程（2）进行F检验，或计算LM统计量进行检验。22uR0:210kH22~2kuRnLM9（三）戈里瑟检验1、通常拟合和之间的回归模型：根据图形中的分布选择2、再检验零假设＝0（不存在异方差）。如果零假设被拒绝，则表明可能存在异方差。ejXljXe211,1或l10（四）怀特检验假设有如下模型：（3）基本步骤：1、首先用OLS方法估计回归方程（3）式。2、然后作辅助回归：（4）iiiiuxBxBBy22110iiiiiiiivxxAxAxAxAxAAu216224213221102113、求辅助回归方程的R2值。在零假设：不存在异方差下，White证明了，从方程（4）中获得R2值与样本容量（n）的积服从卡方分布自由度等于（4）式中的解释变量的个数。4、根据样本计算统计量n*R2值，并与所选取的显著性水平进行比较，看是否接受零假设（零假设为残差不存在异方差性）。5、Eviews计算：View-ResidualTests-WhiteHeteroskedasticity.应用：对例6-1进行White异方差检验22Rn（四）怀特检验12等价的White检验（1）用OLS估计模型（3），得到残差和拟合值，计算它们的平方；（2）做回归记下这个回归的R平方（3）构造F或LM统计量并计算p值（前者为F2，n－3分布，后者用分布。vyyu221022213（五）实例使用Wooldridge中的数据HPRICE.RAW中的数据来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行回归分析）发现：采用水平模型存在异方差性，但采用对数模型不存在异方差性。bdrmssqrftlotsizeprice321014三、异方差的解决方法加权最小二乘法模型的重新设定15（一）加权最小二乘法基本思路：赋予残差的每个观测值不同权数，从而使模型的随机误差项具有同方差性。16（一）加权最小二乘法方差已知的情形假设已知随机误差项的方差为var(ui)=i2,设权数wi与异方差的变异趋势相反,wi=1/i,,将原模型两端同乘以wi。wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。17（一）加权最小二乘法222201iiiwwiiybbx方差已知的情形对于一元线性回归模型y=b0+b1x+u，加权最小化残差平方和为获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回归模型y=Xβ＋u，令权数序列wi=1/i，W为N×N对角矩阵，对角线上为wi，其他元素为0。则变换后的模型为WyWXWu18（一）加权最小二乘法方差已知的情形（1）误差方差与xi成比例Var(ui)=σ2*xi其中σ2为常数，这时可以令权序列（2）误差方差与xi2成比例Var(ui)=σ2*xi2其中σ2为常数，这时可以令权序列1/iiwx1/iiwx19（一）加权最小二乘法方差已知的情形实例：住房支出模型给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据，建立住房支出模型，并检验和修正异方差。（3）其他的与自变量xi的加权形式f(xi)01iifxxrr20（一）加权最小二乘法方差已知的情形220101010101010101220101()1iiiiiiiiiiiiiiiiVarVarVarxrrybbxxxxxrrrrrrrrxrrxrrxrrxrr21（一）加权最小二乘法（4）用随机误差项的近似估计量求权重序列首先利用OLS估计原模型得到残差序列，然后利用残差序列的绝对值的倒数序列作为加权序列，即令实例：采用该方法修正6-1模型的异方差性1/iiwuiu22（一）加权最小二乘法OLS是加权最小二乘法的特例显然，当满足同方差假定时，w1=w2==wn=1/=常数即权数相等且等于常数，加权最小二乘法，就是OLS法。23纠正异方差性的一个可行程序（1）将y对x1,x2,…xk做回归并得到残差u;（2）将残差进行平方，然后再取自然对数而得到log(u2);（3）做log(u2)对x1,x2,…xk的回归并得到拟合值g；（4）求拟合值的指数：h=exp(g)（5）以1/h为权数用WLS来估计方程。在（3）中做log(u2)对的回归本质上是完全一样的2,yy24实例：采用Wooldridge中的数据Smoke.Raw中的数据来估计一个对日香烟消费量的需求函数。基本回归模型如下：cigs=a0+a1log(income)+a2log(cigpric)+a3educ+a4age+a5age2+a6restaurn其中cigs为每天吸烟的数量；income为年收入；cigpric为每包香烟的价格（以美分为单位）；educ为受教育年数；age为年龄；restaurn为一个二值变量（若此人居住的州禁止在餐馆吸烟，则取值1，否则取值0）。25（二）模型的重新设定在计量经济学实践中，计量经济学家偏爱使用对数变换解决问题，往往一开始就把数据化为对数形式，再用对数形式数据来构成模型，进行回归估计与分析。这主要是因为对数形式可以减少异方差和自相关的程度。26案例——居民储蓄模型估计1、问题的提出2、初步模型估计3、异方差检验4、异方差模型的估计加权LS法和模型变换法271、问题的提出储蓄是居民的金融消费，也是满足相应收入水平的“基本生活”以后的扩展消费，从具体问题的经验分析，储蓄具有异方差特性。因此建立储蓄模型就不能使用最小二乘法。282、初步模型估计首先，估计居民储蓄与可支配收入之间的回归模型29-600-400-2000200400600010000200003000040000RESIDX残差与收入x的散点图303、异方差检验图示法检验：残差平方与自变量呈比较典型的喇叭型31050000100000150000200000250000010000200003000040000RESID2X32异方差：残差随收入增大而增大-2000-100001000200051015202530RESID334、异方差模型的估计加权最小二乘法在分析收入对储蓄的影响的时候，权数变量可以选取hi=inci于是基本模型savi=a0+a1inci+ei变为iiiiincaincaincsav10)/1(/34权数序列名Proce=Equation=Option=选定异方差、给出权数名==OK同质性35加权最小二乘法估计结果36加权最小二乘法残差与X的散点图-600-400-2000200400600010000200003000040000RESIDX37WLS处理后的残差图-8000-6000-4000-20000200051015202530RESID