清华电子教材-高等代数4

1第四讲行列式Determinant2§1Arrangement(排列)定义1排列:12121,2,,(,,,)nnnniiiniii由这个数组成的任一个有序数组称为一个级排列,也记为:n级排列的总数为:自然排列:(1,2,,1,).nn例如:(1,2,3)是三级排列,(3,2,1)也是!=(-1)21.nnn个32逆序:1(,,),,,(,).pqnpqpqniiiipqiiii在一个级排列中若而则称是该排列的一个逆序例:三阶排列(3,2,1)中有逆序(3,2),(3,1),(2,1)逆序数:1212(,,,).(,,,).nniiiiii排列中逆序的总个数记为3偶排列:逆序数为偶数的排列.奇排列:逆序数为奇数的排列.(1,2,,)0,n是偶排列1(,1,,1)(1)(2)21(1)2nnnnnn(1,2,,)n故4,,,.n在一个级排列中互换某两个数码的位置其余数码不动称为排列的一次对换定理1:任一排列,经一次对换后,必改变其排列的奇偶性.:对换213,2,1(3,1,2)奇偶例:15(1,2,3,4,5,6)(5,2,3,4,1,6)偶奇(5,2,3,4,1,6)41117,(44k+1);(4+24k+3).nknk偶排列或奇排列或1(,1,,1)(1)2nnnn45的大小关系是一样的,而从必使逆序的个数增加或减少1故相邻两数的一次对换,改变了排列的奇偶性.所以经过奇数次相邻两数的对换后,一定改变排列的奇偶性.proof:1.先讨论一次相邻两数码的对换:111,,,,,,kkiikkkkiiii显然,在对换前后,所有“…”位置上的数码与定理:经一次对换后,必改变排列的奇偶性.11,,kkkkiiii1,kkii6所以,共施行了2s+1次相邻两数的对换,故,必改变排列的奇偶性.2.对于一般的对换:11,,,,,,,,,,pqiipppsqqppspiiiiiiii可以,通过接连施行若干个相邻的对换而达到1,,,,,,sqppspiiii次相邻对换11,,,,,sqpppsiiii次相邻对换1,,,,,pppsqiiiip+s=q-171.不影响已经在自然排列的位置上的数码;2.每对换一次,至少让一个数在自然排列位置上.12,,,,niii在排列中,(=1,2,,),kikkn若可经过对换kik后k就在自然排列的位置上;且在施行这样的对换时:故,最多施行(n-1)次对换,就可使其变成自然排列(最后一次对换,使两个数同时到位).定理2:任一个排列都可经过一系列对换变成自然排列,且所做对换个数与原排列有相同的奇偶性.8例:61(6,5,4,7,3,2,1)(1,5,4,7,3,2,6)52(1,2,4,7,3,5,6)43(1,2,3,7,4,5,6)76(1,2,3,4,5,6,7)若原为奇排列自然排列(偶)p经次对换若原为偶排列自然排列(偶)q经次对换p对换改变了排列的奇偶性为奇数q对换没有改变排列的奇偶性为偶数9§2n阶行列式的定义111212122212:,,1ijijnnmmmnmnaaFimjnaaaaaaAaaa定义2由个数(1)排成的数表.()ijmnmnAa称为矩阵记为,.,.ijaAij横的称行竖的称列是的第行列位元素10:(),(),,(1,,;1,,).ijijijijAaBbABabimjn相等设是两个同型矩阵则:(),(),()().ijijDijijmnijmnAaBbmnCABabc加法设是两个矩阵:()().ijmnDijmnkAaCkAka数乘数与的数乘是.,阶方阵为称时当nAnm11111000nnnaaa上三角矩阵,0ijija下三角矩阵111000nnnaaa11000000nnaa对角矩阵,0,,1,,ijijaijn,0ijija122:(,1,,).ijnaijnn定义3由个数通过下式定义的一个数称为阶行列式111212122212detnDnnnnnaaaaaaAaaa),,(21),,(1211)1(nnnjjnjjjjjaaa13(1).,.(2).,.(3)..!.nnn每一项是取自不同行不同列的个元素之积每一项的符号由行指标按自然排列时列指标排列的奇偶性决定对阶排列求和共有项111122(,,)+(,,)(1)nnnnkkiijjijijijijaaa),,(21),,(1211)1(nnnjjnjjjjjaaa1121(,,)12(,,)(1)nnniiijiiiniiaaaa14.332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2112221122211211aaaaaaaa例1:例2:151001002003004002的值example1:123412341234:,14==3=241jjjjaaaajjjj解由定义一般项为4计算阶行列式4(1,3,2,4)(4,3,2,1)1123324414233241(1)+(1)aaaaaaaa=-123212341216例3:121121nnnnaanaa计算阶行列式1212-121:,1,2,,-2-1njjnjnnaaajjjnjn解一般项为考察它的非零项(,1,,1)12,11=(1)nnnnnnaaa(1)212,11=(1)nnnnnaaa17nnnnnaaaaaa2211111000上三角行列式例4:1212-1321:,,=,=-1=3,=2=1njjnjnnaaanjnjnjjj解一般项为考察它的非零项第行只有一个元素于是(1,2,,)11221=(1)=nnnnniiiaaaa18111122100.0nnnnnaaaaaa111122000000nnnnaaaaa下三角行列式对角行列式