高三数学一轮复习二项式定理

1.能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理[思考探究1]在(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中，其通项相同吗？提示：从整体上看，(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是相同的，但具体到某一项是不同的，如第r＋1项Tr＋1＝an－rbr，T′r＋1＝bn－rar.2．二项式系数的性质[思考探究2]二项式系数与项的系数有什么区别？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．1.的展开式中x2的系数为()A．10B．5C.D．1解析：∵含x2的项为()2＝x2，∴x2的系数为.答案：C2．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为()A．24B．18C．16D．6解析：∵Tr＋1＝(2b)r，∴T2＝an－1(2b)＝2an－1b，∴2＝8，∴n＝4，∴第三项的二项式系数为＝6.答案：D3．若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120解析：二项式系数之和2n＝64，则n＝6，Tr＋1＝·x6－r·＝x6－2r，当6－2r＝0时，即r＝3时为常数项，T3＋1＝＝20.答案：B解析：∵Tr＋1＝(ax)5－r(－1)r，且x3的系数为－80.4．若(ax－1)5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是________．答案：－25．若(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋…＋a11＝________.解析：令x＝2，则有a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(22＋1)(2－2)9＝0，再令x＝1，则有a0＝(12＋1)·(－1)＝－2，∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.答案：2在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是公式Tr＋1＝an－rbr(0≤r≤n，r∈N*，n∈N*)的正确应用．[特别警示]应用二项展开式的通项公式Tr＋1＝an－rbr(r＝0,1,2，…，n)时，要注意以下几点：(1)通项公式表示的是第r＋1项，而不是第r项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错．已知在()n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[思路点拨][课堂笔记](1)通项为Tr＋1＝＝，因为第6项为常数项，所以r＝5时，有＝0，即n＝10.(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，∴所求的系数为(3)根据通项公式，由题意令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，∵r∈N，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为(－)2x2，，x－2.1.对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.在二项式(2x－3y)9展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和．[思路点拨][课堂笔记]设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为＋…＋＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，可得：a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和．(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.1.求二项式系数最大的项：如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大；2．求展开式系数最大的项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项．已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨][课堂笔记](1)令x＝1，则二项式各项系数和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3＝(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝(x)2(3x2)3＝270x.(2)展开式通项为Tr＋1＝3r·x(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.∴展开式中系数最大项为T5＝x(3x2)4＝405x.已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x－)2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.解：根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0.∴2n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，(2x－)10的展开式中第6项的二项式系数最大．即T6＝·(2x)5·(－)5＝－8064.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，∵Tr＋1＝·(2x)10－r·(－)r＝(－1)r·210－r·x10－2r，得即解得≤r≤.∵r∈Z，∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第4项，T4＝－·27·x4＝－15360x4.以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本讲内容的常规考法.09年北京高考则以选择题的形式考查了二项式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向．[考题印证](2009·北京高考)若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．45B．55C．70D．80【解析】由二项式定理得：(1＋)5＝1＋＋·()2＋·()3＋·()4＋·()5＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.【答案】C[自主体验]若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则向量m＝(a0，a2)与向量n＝(－3,4)所成角的余弦值是()A．0B.C.D．1解析：x3＝[2＋(x－2)]3，a0＝23＝8，a2＝2＝6.故m＝(8,6)，m·n＝0.答案：A1．(2009·浙江高考)在二项式(x2－)5的展开式中，含x4的项的系数是()A．－10B．10C．－5D．5解析：Tr＋1＝x2(5－r)(－x－1)r＝(－1)rx10－3r(r＝0,1，…，5)，由10－3r＝4得r＝2.含x4的项为T3，其系数为＝10.答案：B2．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．10B．6C．5D．3解析：∵Tr＋1＝(3x2)n－r·＝(－1)r·3n－r·2r·x2n－5r，∴由题意知2n－5r＝0，即n＝，∵n∈N*，r∈N，∴n的最小值为5.答案：C3．(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是()A．－4B．－3C．3D．4解析：法一：化简原式＝[(1－)4(1＋)4]·(1－)2＝[(1－)(1＋)]4·(1－)2＝(1－x)4·(1－)2＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－2＋x)故系数为1－4＝－3.法二：展开式中含x的项为(－)(－)＋＋＝15x＋6x－24x＝－3x故x的系数为－3.答案：B4．二项式(2x－)6的展开式的常数项是________．解析：Tr＋1＝(2x)6－r(－)r＝26－r(－1)rx6－2r，由6－2r＝0得r＝3，故展开式中的常数项为23(－1)3＝－160.答案：－1605．(2010·安徽师大附中模拟)a＝(sinx＋cosx)dx则二项式(a)6展开式中含x2项的系数是________．解析：a＝(sinx＋cosx)dx＝(sinx－cosx)|＝(sinπ－cosπ)－(sin0－cos0)＝(0＋1)－(0－1)＝2.又∵Tr＋1＝(a)6－r(－)r＝a6－r(－1)rx＝a6－r(－1)rx3－r.由3－r＝2，得r＝1，∴x2项的系数为－a5＝－192.答案：－1926．设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4.(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)求a0＋a2＋a4；(3)求a1＋a3；(4)求a1＋a2＋a3＋a4；(5)求各项二项式系数的和．解：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.(3)由(2)得(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)－(a0＋a2＋a4)＝a1＋a3＝－120.(4)令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.(5)各项二项式系数的和为＝24＝16.