概率论PPT

1概率论与数理统计2教学规划•课堂练习30分钟左右•课外作业3题/次•课前知识点总结每次课前安排5-10分钟，请同学上讲台回顾总结上一次课所学的知识点，大家提前做好准备•测验定期进行小型测验，计平时成绩成绩分配1.平时成绩30%2.期末考试70%3平时成绩加分与扣分原则•加分原则平时测验10分/次课前回顾5分/次回答问题1分/次作业优秀1分/次•扣分原则缺课5分/次（三次缺课以上扣30分，取消期末考试资格）迟到1分/次早退1分/次睡觉1分/次不交作业2分/次4目录•第一章随机事件与概率•第二章一维随机变量及其分布•第三章多维随机变量及其分布•第四章随机变量的数字特征和特征函数•第五章大数定律与中心极限定理5关键词：1.1随机事件及其运算1.2随机事件的概率及其性质1.3古典概型和几何概型1.4条件概率1.5事件的独立性第一章随机事件与概率6概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科。7一、随机现象确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象——确定——不确定——不确定自然界与社会生活中的两类现象例：向上抛出的物体会掉落到地上明天天气状况买了彩票会中奖第一节随机事件8概率统计中研究的对象：随机现象的统计性规律对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。它具有以下特性：1.可重复性可以在相同条件下重复进行2.随机性事先知道可能出现的结果3.可观察性进行试验前并不知道哪个试验结果会发生例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试不合格数；对听课人数进行一次登记；二、随机试验9三、样本空间定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为，称中的元素为基本事件或样本点．={0,1,2,…}；={正面，反面}；={x|0≤x}记录一城市一日中发生交通事故次数例：一枚硬币抛一次记录一批产品的寿命x10四、随机事件一般我们称的子集A为随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。事件：在概率论中，把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件。11如果将亦视作事件，则每次试验总是发生，故又称为必然事件。为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含任何样本点。记A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。＝{0,1,2,…}例：观察15路公交车上财浙院站候车人数，12五、随机事件的集合表示例抛硬币试验样本空间=｛正，反｝A=｛正｝，B=｛反｝基本事件C=｛正，反｝复杂事件基本事件：恰由一个样本点组成的事件复杂事件：由两个或两个以上的样本点组成的事件131、包含、相等例：记A={明天天晴}，B={明天无雨}记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}2ABABBA＝1ABAB：事件发生一定导致发生BABABASAB六、事件的关系及运算142、和（并）、积（交）、互斥{|}ABxxAxBAB或：与至少有一发生。121121,,,,ninininiAAAAAAAA：至少有一发生：同时发生SBASABSBAABA与B的和事件，记为,,ABABABA与B的积事件，记为{|}ABxxAxBAB且：与同时发生。当AB=Φ时，称事件A与B不相容的，或互斥的。15SAB{|}ABABxxAxB且,,AASABSAAABABAA逆事件的记为,若,称互逆3、差、对立事件16•交换率•结合律•分配率•对偶律七、事件的运算性质ABBAABBAABCABCABCABCABCACBCABCACBCABABABAB17ABABABABABAB课堂练习：设A={甲来听课}，B={乙来听课}，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}P5例题7独立练习，例题8一起练习18一、用频率估计概率(一)频率定义：记其中—A发生的次数(频数)；n—总试验次数。称为A在这n次试验中发生的频率。例：中国国家足球队，“冲击世界杯”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击世界杯”这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记A={听课迟到}，则#频率反映了事件A发生的频繁程度。()nnAfAn()nfA1n；()151788%nfA()nfAnA第二节随机事件的概率及其性质19**频率的性质：且随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．1210()12()13,nnkfAfAAA。。。,,()nfA11()()kkniniiifAfA两两互不相容，则20试验序号n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表1例：抛硬币出现的正面的频率21实验者nnHfn(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005表222实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。23定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p定义2：给每个事件A，都赋予一个实数P(A)，且满足：称P(A)为事件A的概率。()nfA10()1PA。2()1P。12113,()()kkkiiiiAAAPAPA。若,…,两两互不相容，则二、概率的定义24三、概率的性质1.()1,()0PP2.对于有限个两两互不相容的事件nAAA,,,2111()nniiiiPAPA3.()1()PAPA25()()()()()2()()ABPABPAPBPAPBPAPAB若，则有16.()()()()PABPAPBPAB概率的加法公式：()ABABAB()()()PABPAPBAB4()()()BABPBABPBPAB又，由知()()()()PABPAPBPAB5.0()1PA4.()()()PABPAPAB26例1已知0.6,0.1,0.15,PAPABPAB求：1;2;3;4.PABPBPABPAB解：10.15110.150.85.2()()()()=()()()=0.850.60.1=0.35.3=()=()()=0.60.1=0.5.4()()()0.350.10.25.PABPABPABPABPAPBPABPBPABPAPABPABPABPAPABPABPBAPBPAB因为，所以由，得27一、古典概型定义：若试验满足：1.中样本点有限(有限性)2.出现每一样本点的概率相等(等可能性)APA所包含的样本点数中的样本点数称这种试验为等可能概型(或古典概型)。古典概型和概率的古典定义28如果一次试验有n种可能的结果，且这n种结果出现的可能性都相同，而事件A包含了这n种可能中的k种可能，则事件A发生的概率为P(A)＝k／n，这种概率称为古典概率。例掷一枚骰子，求C＝{4,5,6}和D＝{4,6}的概率。解：掷一枚骰子出现的点数有6种可能，这6种点数的可能性是相同的，属于古典概型。其中C占了3种可能出现的情况，D占了2种可能出现的情况，故P(C)＝3／6，P(D)＝2／6。29例：在10000张奖券中设特等奖1名，一等奖2名，二等奖10名，三等奖100名，求购买1张奖券中奖的概率。解：n＝10000，k＝1＋2＋10＋100＝113P(A)＝k／n＝113／10000＝0.0113在古典概率的计算中，经常要用到排列和组合数的计算方法。[求古典概率的一般方法]⒈求出随机试验一共有多少种不同的结果n，如考虑顺序用排列数求，不考虑顺序用组合数求。⒉求出事件发生包含了多少种不同的结果k，⒊则P(A)＝k／n课堂练习P10例题1，2，3，301、几个例子例1：在40毫升自来水里有一个细菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现细菌的概率。二、几何概型24031例2：如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架储藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？405w322、定义若记A={在区域中随机地任取一点，而该点落在区域A中}，则()()()SAPAS这一类概率称为几何概率。33例3：甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。求两人会面的概率。解：以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件为15yx在平面上建立直角坐标系如图，167604560)()()(222SmAmAP则15601560Y=x+15Y=x-15•与P14例题7类似34五、概率的公理化定义1212()()()()mmPAAAPAPAPA古典概率的基本性质：1．（非负性）对任何事件A,()0;PA2．（规范性）()1;P3．（有限可加性）若事件12,,,mAAA两两互不相容，则几何概率的基本性质：1212()()()()nnPAAAPAPAPA1．（非负性）对任何事件A,()0;PA2．（规范性）()1;P3．（可列可加性）若事件12,,,,nAAA两两互不相容，则一般概率的定义，即概率公理化定义：随机事件A发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率（probability），记为(),PA1212()()()()nnPAAAPAPAPA1．（非负性）对任何事件A,()0;PA2．（规范性）()1;P3．（可列可加性）若事件12,,,,nAAA两两互不相容，则还必须满足以下3条公理：性质1：()0P性质2：（有限可加性）设两两互不相容，则12,,,nAAA1212()()()()nnPAAAPAPAPA性质3：()()1PAPA六、概率的性质性质4设,AB则()()()PBAPBPA推论：设,AB则()(),PAPB反之不成立。推广：()()()PBAPBPAB性质5：（并定理）()()()()PABPAPBPAB()()()PABPAPB推论：推广：()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPACPABC111()()nniiijiijniPAPAPAA1121()(1)()nijknijknPAAAPAAA()()PABPAPB推论：若A、B为两个互斥事件，则：41一、条件概率例：抛两枚硬币，考察出现正面或者反面朝上的情况，则样本空间=,,,HHHTTHTT已知至少有一次是出现正面朝上，求至少有一次反面朝上的概率。解记事件A为“至少有一次出现正面”，事件B为“至少有一次是出现反面”，则=,,,=,,AHHHTTHBHTTHTT从而332=,=,=444PAPBPAB第三节条件概率与概率的三个基本公式42这是因为事件A的发生