高一数学-等差数列优秀课件-ppt

（第一课时）[教学目标]：1、掌握等差数列定义和通项公式;2、提高学生的归纳、猜想能力;3、联系生活中的数学。[教学重点与难点]：难点对等差数列特点的理解、把握和应用重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列：4，5，6，7，8，9，10……；①3，0，－3，－6，……；②下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种（表示鞋长、单位是cm）21，21，22，22，23，23，24，24，25;③一张梯子⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm）40，50，60，70，80，90，100；④⑵每级之间的高度相差分别为40，40，40，40，40，40.⑤从第2项起，每一项与前一项差都等于1这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。从第2项起，每一项与前一项差都等于－3从第2项起，每一项与前一项差都等于10从第2项起，每一项与前一项差都等于0问：这5个数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项差都等于2121212121数学语言：an－an－1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列,通常用A·P表示。这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。二、由定义归纳通项公式a2－a1=d，a3－a2=d，a4—a3=d，......则a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……由此得到an=a1+(n－1)dan－1－an－2=d,an－an－1=d.这（n－1）个式子迭加an－a1=(n－1)d当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。三、巩固通项公式an=a1+(n－1)d(n∈N*)（一）求通项an若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：①a1=1,d=2,则an=1+(n－1)·2=2n－1②已知等差数列8，5，2，…求an及a20解：∵a1=8,d=5－8=－3∴a20=－49∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11练习：已知等差数列3，7，11，…则an=_______________a4=_________a10=__________an=a1+(n－1)d(n∈N*)4n-11539(二)求首项a1例如：已知a20=－49,d=－3则，由a20=a1+(20－1)·(－3)得a1=8练习：a4=15d=3则a1=_________6an=a1+(n－1)d(n∈N*)(三)求项数n例如：①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项?解：a1=8,d=－3则an=8+(n－1)·(－3)－49=8+(n－1)·(－3)得n=20.∴是第20项.an=a1+(n－1)d(n∈N*)②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,…的项？如果是，是第几项？解：a1=－5,d=－4an=－5+(n－1)·(－4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得－401=－5+(n－1)·(－4)成立所以－400不是这个数列的项an=a1+(n－1)d(n∈N*)解之得n=4399解2：这些三位数为100，101，102，…，999可组成首项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。由an=a1+(n－1)·1得999=100+（n－1）·1∴n=999－100+1=900练习：10100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.20在正整数集合中，有多少个三位数？30在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？an=a1+(n－1)d(n∈N*)解3：这些数组成首项a1=105,公差d=7的等差数列。∴an=105+(n－1)·7又an≤999即105+(n－1)·7≤999解得n≤128∵n∈N*∴n最大为128，故共有128个。75解1:∵a1=2,a2=9,a3=16,∴d=7,an=2+(n-1)=100∴n=15.是第15项.(四)求公差d例如一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用｛an｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。由题意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+(n-1)d得110=33+(12-1)d解得d=7从而可求出a2=33+7=40a3=40+7=47a4=54…。总结：在an=a1+(n－1)dn∈N*中，有an,a1,n,d四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？an=a1+(n－1)d(n∈N*)（五）小综合在等差数列｛an｝中已知a5=10,a12=31,求a1、d及anan=－2+(n－1)·3=3n－5知识延伸：由定义，可知：a6=a5+da7=a6+d=a5+2d=a5+(7－5)da8=a7+d=a5+3d=a5+(8－5)d…a12=a5+(12－5)d猜想：任意两项an和am之间的关系：an=am+(n－m)d证明：∵am=a1+(m－1)d∴an=a1+(m－1)d+(n－m)d=a1+(n－1)d∴本题也可以这样处理：由a12=a5+(12－5)d得31=10+7dd=3又a5=a1+4d∴a1=－2解：由an=a1+(n－1)d得a5=a1+4d=10a1=－2a12=a1+11d=31d=3练习：等差数列｛an｝中,已知a3=9,且a9=3,则a12=__________课后思考：能否对上面的结论进行推广：若ap=q且aq=p(p≠q)则ap+q=0?0四、能力培养：两个等差数列5，8，11，…，和3，7，11，…都有100项，求：这两个数列相同项的个数解法一：已知两个等差数列｛an｝:5，8，11，…公差为3｛bn｝:3，7，11，…公差为4通项公式分别是an=5+(n－1)·3=3n+2bn=3+(n－1)·4=4n－1假设｛an｝的第n项与｛bn｝的第k项相同，即an=bk则3n+2=4k－1n=k－1∵n∈N*∴k必是3的倍数k=3,6,9,12,…，组成新的等差数列｛cn｝而相应的n=3,7,11,15,…，组成新的等差数列｛dn｝即a3=b3,a7=b6,a11=b9,a15=b12，…又因为这两个数列最多只有100项，所以cn=3+(n－1)·3≤100n≤100/3=33n≤25dn=3+(n－1)·4≤100n≤101/4=25又n∈N*∴这两个数列共有25项相同。314141解法二：已知两个等差数列｛an｝：5，8，11，…和｛bn｝：3,7,11,…则通项公式分别是an=5+(n－1)·3bn=3+(n－1)·4观察：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，…3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，…因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=11,公差d=12的等差数列｛cn｝又a100=5+(100－1)·3=302b100=3+(100－1)·4=399因为，相同的项不大于a100和b100中的较小者，所以，cn=11+(n－1)·12≤302得n≤25又n∈N*故这两个数列中相同的项共有25个。41五、要点扫描：本节课主要学习①等差数列的定义：“从第2项起，后项与前一项差为常数”②通项公式：an=a1+(n－1)d（n∈N*）六、作业：P1181,2,4,5,另：已知两个等差数列5，7，9，…和3,6，9，…共有100项。求这两个数列相同项的个数。