2005年江西卷高考理科数学试题

2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学YCY本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第I卷参考公式：如果事件AB、互斥,那么球的表面积公式)()()(BPAPBAP24RS如果事件AB、相互独立,那么其中R表示球的半径)()()(BPAPBAP球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么334RVn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径knkknnPPCkP)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{|||3,},{1,2},{2,1,2},()IIxxxZABACB则A.{1}B.{1，2}C.{2}D.{0，1，2}2.设复数：2121),(2,1zzRxixziz若为实数，则xA.－2B.－1C.1D.23.“ab”是“直线相切与圆2)()(222byaxxy”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.123)(xx的展开式中，含x的正整数次幂的项共有A.4项B.3项C.2项D.1项5.设函数)(|,3sin|3sin)(xfxxxf则为A.周期函数，最小正周期为3B.周期函数，最小正周期为32C.周期函数，最小正周期为2D.非周期函数6.已知向量(1,2)a，(2,4)b，||5c，若5()2abc，则a与c的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°7.已知函数()yxfx的图像如右图所示（其中()fx是函数()fx的导函数），下面四个图像中)(xfy的图像大致是8.)22(1lim,11)1(lim11xfxxxfxx则若A.－1B.1C.－21D.219.矩形ABCD中，4AB，3BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12125B.9125C.6125D.312510.已知实数,ab满足等式,)31()21(ba下列五个关系式①0ba②0ab③0ab④0ba⑤ab其中不可能．．．成立的关系式有A.1个B.2个C.3个D.4个11.在OAB中，O为坐标原点，]2,0(),1,(sin),cos,1(BA，则OAB的面积达到最大值时，A.6B.4C.3D.212.将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为A.561B.701C.3361D.4201第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共15分，请将答案填在答题卡上.13.若函数)2(log)(22axxxfn是奇函数，则a.14.设实数,xy满足的最大值是则xyyyxyx,03204202.15.如图，在直三棱柱111ABCABC中，2ABBC，12BB，90ABC，EF、分别为1AA、11CB的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.16.以下四个关于圆锥曲线的命题中①设AB、为两个定点，k为非零常数，kPBPA||||，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若1(),2OPOAOB则动点P的轨迹为椭圆；③方程02522xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222yxyx与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数baxxxf2)(（,ab为常数）且方程()120fxx有两个实根为13x，24x.（1）求函数()fx的解析式；（2）设1k，解关于x的不等式：xkxkxf2)1()(18．（本小题满分12分）已知向量(2cos,tan()),(2sin(),tan()),()2242424xxxxabfxab令.是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使xfxfxfxfx若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.19．（本小题满分12分）AB、两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求的取值范围；（2）求的数学期望E.20.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，11ADAA，2AB，点E在棱AD上移动.（1）证明：11DEAD；（2）当E为AB的中点时，求点E到面1ACD的距离；（3）AE等于何值时，二面角1DECD的大小为4.21.（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数na0111,(4),.2nnnaaaanN（1）证明：;,21Nnaann（2）求数列}{na的通项公式na.22．（本小题满分14分）如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PAPB、，且与抛物线C分别相切于AB、两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFAPFB.2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题1．D2．A3．A4．B5．B6．C7．C8．C9．C10．B11．D12．A二、填空题13．2214．2315．22316．③④三、解答题17．解：（1）将0124,3221xbaxxxx分别代入方程得).2(2)(,2184169392xxxxfbababa所以解得（2）不等式即为02)1(,2)1(222xkxkxxkxkxx可化为即.0))(1)(2(kxxx①当).,2(),1(,21kxk解集为②当);,2()2,1(0)1()2(,22xxxk解集为不等式为时③),()2,1(,2kxk解集为时当.18．解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(xxxxbaxf12cos22cos2sin22tan112tan2tan12tan1)2cos222sin22(2cos222xxxxxxxxxx.cossinxxxxxxxfxfxfxfsincoscossin)()(:,0)()(即令.0cos2x.0)()(],,0[2,2xfxfxx使所以存在实数可得19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则915||nmnm，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当nmnmnmnmnmnm（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155CPP.322756455964571615;64556451611)9(EP20．解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，故.2121,232152211BCAESSACECAD而.31,23121,3131111hhhSDDSVCADAECAECD（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x,,,1,.1,4,211xEHDHERtxDEADERtDHDHDDHDRt中在中在中在.4,32.32543.54,3122的大小为二面角时中在中在DECDAExxxxxxCECBERtCHDHCRt解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA所以因为（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1ACED，)1,0,1(1AD，设平面ACD1的法向量为),,(cban，则,0,01ADnACn也即002caba，得caba2，从而)2,1,2(n，所以点E到平面AD1C的距离为.313212||||1nnEDh（3）设平面D1EC的法向量),,(cban，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11DDCDxCE由.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn令b=1,∴c=2,a=2－x，∴).2,1,2(xn依题意.225)2(222||||||4cos211xDDnDDn∴321x（不合，舍去），322x.∴AE=32时，二面角D1—EC—D的大小为4.21．解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa∴210aa，命题正确.2°假设n=k时有.21kkaa则)4(21)4(21,1111kkkkkkaaaaaakn时).4)((21))((21)(211111kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而.0,04.0111kkkkkkaaaaaa又.2])2(4[21)4(2121kkkkaaaa∴1kn时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa∴2010aa；2°假设n=k时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk即),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当n=k+1时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaannnnnnnnnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121,2则令,又bn=－1，所以1212)21(22,)21(nnnnnbab即22．解：（1）设切点A、B坐标分别为))((,(),(0121120xxxxxx和，∴切线AP的方程为：;02200xyxx切线BP的方程为：;02211xyxx解得P点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以△APB的重心G的坐标为PPGxxxxx310，,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以243GGpxyy，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：).24(31,02)43(22