高考题汇集正弦定理和余弦定理

1/5高考题汇集--正弦定理和余弦定理题组一正、余弦定理的简单应用1.(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝()A．2B．4＋23C．4－23D.6－2解析：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得bsin30°＝6＋2sin75°＝6＋2sin45°＋30°＝4，∴b＝2.答案：A2．(2009·湖南高考)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于________，AC的取值范围为________．解析：由正弦定理得ACsin2A＝BCsinA.即AC2sinAcosA＝1sinA.∴ACcosA＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜π2，0＜2A＜π2，0＜π－3A＜π2，解得π6＜A＜π4.由AC＝2cosA得AC的取值范围为(2，3)．答案：2(2，3)3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，2/5sin(A＋C)＝4cosAsinC，sinB＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB＝bcsinC，故b＝4ccosA.②由①、②解得b＝4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状4.在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解析：sin2A2＝1－cosA2＝c－b2c，∴cosA＝bc＝b2＋c2－a22bc⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．答案：B5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．由2sinAcosB＝sinC，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形．法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB＝sinC可化为2a·a2＋c2－b22ac＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．答案：B题组三三角形面积公式的应用3/56.在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝π6，则△ABC的面积等于()A.32B.34C.32或3D.32或34解析：由正弦定理知ABsinC＝ACsinB，∴sinC＝ABsinBAC＝32，∴C＝π3或2π3，A＝π2或π6，∴S＝32或34.答案：D7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝()A.817B.1517C.1315D.1317解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝12bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝1517.答案：B8．(2009·北京高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，所以C＝2π3－A，sinA＝35.于是sinC＝sin(2π3－A)＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又因为B＝π3，b＝3，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.于是△ABC的面积S＝12absinC4/5＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.题组四正、余弦定理的综合应用9.在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为()A．60°B．75°C．90°D．115°解析：不妨设a为最大边．由题意，ac＝sinAsinC＝3＋12，即sinAsin120°－A＝3＋12，∴sinA32cosA＋12sinA＝3＋12，(3－3)sinA＝(3＋3)cosA，∴tanA＝2＋3，∴A＝75°.答案：B10．(2010·长沙模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，C＝60°，S△ABC＝83，则边长c＝______.解析：S△ABC＝12absinC＝12×4×b×32＝83，∴b＝8.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋82－2×4×8×12＝48，∴c＝43.答案：4311．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.解析：∵m⊥n，∴3cosA－sinA＝0，∴tanA＝3，∴A＝π3.∵acosB＋bcosA＝csinC，∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝sin2C，∵sinC≠0，∴sinC＝1.5/5∴C＝π2，∴B＝π6.答案：π612．(2010·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，π3Cπ2且ba－b＝sin2CsinA－sin2C，(1)判断△ABC的形状；(2)若|BABC|＝2，求BABC的取值范围．解：(1)由ba－b＝sin2CsinA－sin2C及正弦定理有sinB＝sin2C，∴B＝2C或B＋2C＝π，若B＝2C且π3Cπ2，∴23πBπ，B＋Cπ(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵|BABC|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝2－a2a2(∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，π3Cπ2，∴12cosB1，∴1a243，又BABC＝accosB＝2－a2，∴BABC∈(23，1)．