组合典型例题解析

组合典型例题解析【例1】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能？（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？解：（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.排列数为A210=90（种）.（2）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别.组合数为C210=45（种）.（3）是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.组合数为C210=45（种）.（4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.排列数为A210=90（种）.（5）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为C310=120（种）.（6）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为A310=720（种）.点评：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么？区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.【例2】写出从五个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合，并求出其组合数.解：考虑画出如下树形图，按给出字母从左到右的顺序来考虑.abbcccdddcdeddeeeee根据树形图，所有组合为abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.组合数为C35=10（个）.点评：排列的树形图与组合的树形图是有区别的.排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列，而组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序（如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b等）来考虑，否则就会出现重复或遗漏.【例3】已知n5C1－n6C1＝n710C7，求Cn8的值.解：由组合数公式可得!7)!7(!107!6)!6(!!5)!5(!nnnnnn.化简得n2－23n＋42＝0.∴n＝21或n=2.∵n≤5，∴n＝2.∴Cn8＝C28＝28.点评：本题先求n值，再求组合数.化简时常用公式Cmn=)!(!!mnmn，计算时常用Cmn=mmmnAA.【例4】计算（1）C23+C24+C25+…+C2100；（2）A23+A24+A25+…+A2100.解：（1）C23+C24+C25+…+C2100=（C33+C23）+C24+C25+…+C2100－C33=（C34+C24）+C25+…+C2100－C33=C3101－C33=166649.（2）A23+A24+A25+…+A2100=A22（C23+C24+…+C2100）=2×166649=333298.点评：注意题中对公式Cmn+C1mn=Cmn1及Amn=Cmn·Amm的应用.若逆用公式Cmn+C1mn=Cmn1也可解决（1）.即将公式变形，C1mn=Cmn1－Cmn，则有C23+C24+C25+…+C2100=（C34－C33）+（C35－C34）+（C36－C35）+…+（C3101－C3100）=C3101－C33=166649.【例5】解下列方程：（1）C2n=66；（2）Cn10=210；（3）Cn18=C6318n.解：（1）由原方程，得2)1(nn=66，即n2－n－132=0.解得n=12或n=－11.∵n≥2，∴n=－11舍去.经检验n=12是原方程的解.（2）根据性质Cmn=Cmnn知，只需将n=1，2，3，4，5代入Cn10=210中一一验证，解得C410=210，又C610=C610，∴n=4或n=6.经检验，n=4，n=6都是原方程的解.（3）由原方程得n=3n－6或18－n=3n－6，∴得n=3或n=6.经检验，n=3，n=6都是原方程的解.点评：（1）解Cmn=a型的方程有两类：一类已知m求n；另一类已知n求m.对于前者，只需利用组合数公式转化为关于n的m次方程；对于后者，一般可将未知数的值用1，2，…依次代入验证求解.但在解这类方程时，必须注意检验，不仅要注意0≤m≤n，n＞0，m，n∈Z，而且要注意组合数性质Cmn=Cmnn的运用，以防止失根.（2）解Cxn=Cyn型的方程，要注意两种情形，即x=y或x=n－y，同时要注意n≥x≥0，n≥y≥0，n＞0，x，y，n∈Z.【例6】解方程组.1C3111C,2CCxnxnxnxn解：∵Cxn=Cxnn=Cxn2，∴n－x=2x.∴n=3x.又由C1xn=311C1xn得)!1()!1(!xnxn=311·)!1()!1(!xnxn.∴3（x－1）!（n－x+1）!=11（x+1）!（n－x－1）!.∴3（n－x+1）（n－x）=11（x+1）x.将n=3x代入得6（2x+1）=11（x+1）.∴x=5，n=3x=15.经检验，15,5nx是原方程组的解.点评：本题也可利用组合数公式的变形式，将C1xn，C1xn都用Cxn来表示，即C1xn=1xxnCxn，C1xn=1xnxCxn，从而方程C1xn=311C1xn可化为1xxnCxn=311×1xnxCxn，约去Cxn，可得解.代入组合数公式，展开成阶乘形式直接求解，是解方程的基本方法，读者要好好掌握.而利用组合数的变形式，直接消去相同的非零公因式，则可以避免不必要的烦琐计算，可使计算简化，同时体现了数学中整体消元的思想方法.【例7】高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中取出3名同学参加活动.（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？解：（1）从余下的34名学生中，选取2名有C234=561（种）.答：不同的取法有561种.（2）从34名可选学生中，选取3名，有C334种.或者C335－C234=C334=5984（种）.答：不同的取法有5984种.（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215=2100（种）.答：不同的取法有2100种.（4）选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N=C120C215+C315=2100+455=2555（种）.答：不同的取法有2555种.（5）选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N=C335－C315=6545－455=6090（种）.答：不同的取法有6090种.点评：（1）一般地说，从n个不同元素中，每次取出m个元素的组合，其中某一元素必须在内的取法有C11mn组合.（2）从n个不同元素里，每次取出m个元素的组合，其中某一元素不能在内的取法有Cmn1种.（3）从n个元素里选m个不同元素的组合，限定必须包含（或不包含）某个元素（或p个元素）.解这种类型的题目，一般是将所给出的集合分成两个子集，一个是特殊元素的子集，另一类是一个非特殊元素组成的子集.在解题时，就把问题分解成两步：先在特殊元子集中组合，再从非特殊元子集中组合，最后根据乘法原理得整个问题的组合数.（4）正确理解“至少”“至多”“恰有”等词语的含义，要根据题设条件仔细研究，恰当分类，运用直接法或者运用间接法来求解.【例8】在一个圆周上有n个点（n≥4），用线段将它们彼此相连，若这些线段中的任意3条在圆内都不共点，那么这些线段在圆内共有多少个交点？CPDB解：虽然可以算出共有C2n条线段，但这些线段在圆内不一定有交点，所以必须考虑怎样的两条线段在圆内有交点？如图，交于圆内点P的两条线段AB与CD的端点必不重合，即每个圆内的交点取决于圆周上的四个点；反之，圆周上的每4个点，虽然可连成C24=6条线段，但它们在圆内的交点有且只有一个，这样，每个圆内的交点与圆周上每4个点之间建立了一一对应关系，所以这些线段在圆内共有交点个数为C4n个.【例9】10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果.（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只鞋子恰成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双.解：（1）从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法.根据乘法原理，选取种数为N=C410·24=3360（种）.答：有3360种不同取法.（2）从10双鞋子中选取2双有C210种取法，即45种不同取法.答：有45种不同取法.（3）解法一：先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法.根据乘法原理，不同取法为N=C110C29·22=1140（种）.解法二：先选取一双鞋子有C110种选法，再从18只鞋子中选取2只鞋有C218种，而其中成双的可能性有9种.根据乘法原理，不同取法为N=C110（C218－9）=1140（种）.答：有1140种不同取法.点评：本题解决的办法是将“事件”进行等价处理，如第一问“4只鞋子没有成双的”相当于这四只鞋子来自于4双.因此分两步完成，第一步取四双鞋，第二步从每双鞋中各取一只.希望同学们好好地体会这种思想方法.【例10】某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷.现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？AB524解：设A=｛排版｝，B=｛印刷｝，如图.对B∩A中的四人进行分类.（1）4人全部选出，此时完成这件事还需从其余7人中选出2人排版.这相当于从4人中选出4人印刷，从7人中选出4人制版，故有C44C47=35种选法.（2）4人中选出3人，此时还需从A∩B中选出一人去印刷，然后再从剩下的6人中选出4人制版，故有C34·C12·C46=120种取法.（3）4人中选出2人，此时还需从A∩B中选出两人去印刷，然后再从A∩B中选出4人制版，故有C24·C22·C45=30种取法.根据分类计数原理，共有35+120+30=185种不同的选法.点评：（1）本题属于交叉问题（A∩B有2个元素），此类问题要借助集合知识按块进行分类讨论.（2）也可按A∩__B分成三类，C45·C46+C35·C12·C45+C25·C22·C44=185.（3）还可按A∩B分类，但较麻烦，同学们不妨试一试.【例11】有6本不同的书.（1）分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种方法？（2）分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（3）分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，一人得3本，有多少种分法？（4）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法？（5）平均分成三堆，有多少种分法？（6）分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法？（7）分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？解：（1）甲先取2本有C26种方法，乙再从余下的4本书中取2本有C24种方法，丙取最后2本书有C22种方法，因此总共有C26·C24·C22=90种方法.（2）同（1）有C16·C25·C33=60种分法.（3）三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三人中谁是甲、乙、丙可有A33种方法，所以共有C16·C25·C33·A33=360种分法.（4）同（2）有C16·C25·C33=60种分法.（5）同（2）有C26·C24·C22种分法，下面对其正确性进行研究：设a，b，c，d，e，f六本书，则C26中有可能为a、b，