导数问题中参数范围的求法-典型

导数问题中参数范围的求法一、分离常数法（Ⅰ）常规分离常数法原理：将所给不等式变形为maxmin)()()()()()()()(xfagxfagxfagxfag例1、（2010全国卷一）已知函数1ln)1()(xxxxf，若1)(2'axxxxf，求a的取值范围.解：xxxxxxf1ln1ln1)('1)(2'axxxxfxxaln令xxxgln)()0(xxxxg1)('.0)(10'xgx时当，当0)(1'xgx时0)1('g1)()(xgxgmac所以1)(xg故1a.（Ⅱ）能分离常数，但求稳定点困难原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算例2、已知函数xxxf)1ln(1(）)0(x，若当时0x，1)(xkxf恒成立，求正整数k的最大值.解：有已知xxxxfxk)1)1)(ln(1()()1(设xxxxh)1)1)(ln(1()(，2')1ln(1)(xxxxh设)1ln(1)(xxxg从而有相同根在与),0(0)(0)(xgxh01)(xxxg‘由于0)2(g且0)3(g所以），（存在唯一根320)(xg故0)(g得0)1ln(1),0(x时0)(xg0)('xh),(x时0)(xg0)('xh)4,3(1)1)1)(ln(1()()(minhxh所以41)(minxhk又因为Zk，故3maxk.（Ⅲ）能分离常数，但求最值困难例3、已知函数)1ln()1()(xxxf，若当时0x，axxf)(恒成立，求a的取值范围.解：当时0x0)0(f有Raaxxf)(恒成立当时0x由已知xxxxxfa)1ln()1()(令)(xgxxx)1ln()1(2')1ln()(xxxxg令)1ln()(xxxh01)('xxxh故0)0()(hxh进而0)('xg1]1)1[ln(lim)1ln()1(lim)(lim)(000minxxxxxgxgxxx所以a的取值范围是),1[.注：此题求最值时应用洛必达法则洛必达法则1（适用于00型不定式极限）若函数gf和满足：①0)(lim)(lim00xgxfxxxx;②在点0x的某空心邻域)(0xUo内两者都可导，且0)('xg；③Axgxfxx)()(lim''0（A可为实数，也可为或）；则Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim''00.洛必达法则2（适用于型不定式极限）若函数gf和满足：①)(lim)(lim00xgxfxxxx;②在点0x的某空心邻域)(0xUo内两者都可导，且0)('xg；③Axgxfxx)()(lim''0（A可为实数，也可为或）；则Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim''00.此方法对与高中生来说理解上稍有难度，但对于研究高中教学的人来说，更进一步对于接受过高等数学教育的人来说还是大有裨益的.二、最值转化法适用于：定点或最值困难②能分离常数，但求稳①不能分离常数（Ⅰ）局部最值转化例4、（2010山东）已知函数)(11lnRaxaaxxxf.设422bxxxg.当41a时，若对任意)2,0(1x，存在]2,1[2x使21xgxf.求实数b的取值范围.解：由于“对任意)2,0(1x，存在]2,1[2x使21xgxf”等价于“上的最小值”在上的最小值不大于在)2,0()(]2,1[)(xfxg.当41a时上单调递减在)1,0()(xf，上单调递增在)2,1(.21)1()(minfxf422bxxxg,]2,1[x①时当1b,2125)1()(minbgxg（舍）411b②时当21b,（舍）223||214)()(2minbbbgxg③时当2b，8172148)2()(minbbgxg.综上b的取值范围是),817[.（Ⅱ）整体最值转化方法：设辅助函数辅助函数的设法：函数②利用泰勒展式设辅助①移项作差设辅助函数利用泰勒展式设辅助函数：20''00'0)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf实质：任意一个函数都可由幂函数近似表示.例5、已知函数)1ln()1()(xxxf，若当时0x，axxf)(恒成立，求a的取值范围.解：设axxxaxxfxg)1ln()1()()()1ln(1)('xaxg当1a时，0)('xg，0)0()(gxg当1a时，101aex0)('xg；11aex0)('xg0)1()(11minaaeaegxg所以a的取值范围是]1,(.例6、（2010新课标卷）设函数21)(axxexfx，若当0x，0)(xf恒成立，求a的取值范围.方法一：解：当0x时，0)0(f，0)(xfRa使得恒成立当0x时，由已知21xxeax令)0(21)(2xxxexgx（由于!3!2132xxxex）xexgx1)('令)(xhxex1，01)('xexh故0)0()()('hxhxg进而0)0()(gxg所以212xxex，2121222xxxxex故a的取值范围是),21[.说明：此处引进泰勒展式设辅助函数，以避免有些教师辅助函数设法的“经验说”.方法二：解：12)('axexfx，设12)()('axexfxgx，aexgx2)('当21a时0)('xg0)0()(gxg即0)('xf)(xf在),0[上单调递增故0)0()(fxf当21a时令0)('xg解得ax2lnax2ln0时0)('xg)(xg在),0[单调递减，即)('xf在),0[单调递减0)0()(''fxf，故)2ln,0()(axf在单调递减,所以)2ln,0(ax，00)(）（fxf与题意不符综上a的取值范围是),21[.声明：本文部分题引用高考数学卷，但为了充分直接地说明问题，部分地方对高考真题略有改动,