利用正余弦定理的巧妙解决三角形中的最值问题

1利用正余弦定理的巧妙解决三角形中的最值问题已知一边和其对角，求三角函数一些表达式的最值问题，三角形中的范围问题是一类重要的问题，在高考中经常出现，通常解决有两种思路，一是正弦定理与辅助角相结合，二是余弦定理与基本不等式相结合。本文进行从题型上归纳总结，注重方法的引领的提高。题目的基本设问题方式是：已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，3A，3a，求cb，bc，cb32，2232cb的范围题型一求周长的范围或最值变式：cb的取值范围CBsinsin的取值范围,已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，cos3sin0aCaCbc.（1）求A的大小；（2）若a=7，求ABC的周长的取值范围．试题解析：（1）由正弦定理得：cos3sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBCsincos3sinsinsin(A)sin13sincos1sin(30)2303060ACACCCAAAAA（2）由已知：0,0bc，7acb由余弦定理22222231492cos3344bcbcbcbcbcbcbc（当且仅当bc时等号成立）∴2449bc，又7,714bcbc.从而ABC的周长的取值范围是(14,21]2若)0(cossincos3)(2xxxxf的图像与直线)0(mmy相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.（Ⅰ）求和m的值；（Ⅱ）ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。若)232，（A是函数)(xf图象的一个对称中心，且a=4，求ABC周长的取值范围．解：（1）axaxaxxfcossincos3)(2=)32sin(23ax………………3分由题意，函数)(xf的周期为，且最大（或最小）值为m，而0m,0123所以，,1a123m………………………………6分（2）∵（)232，A是函数)(xf图象的一个对称中心∴0)3sin(A又因为A为⊿ABC的内角，所以3A⊿ABC中，则由正弦定理得：3383sin4sinsinsinAccBba，24)6sin(84)3sin(sin3384sinsin3384BBBCBcbacb320B∴b+c+a]12,8(3.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．Ⅰ求C的大小；Ⅱ若，求周长的最大值．【解析】Ⅰ中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．由已知，得，即，，由，．Ⅱ，，，．设周长为l，则，，周长的最大值为．方法二：由余弦定理可得，Cabbaccos2222，即abba223，abba2)(3，由基本不等式可得22)2(3)(baabba，解之得4)(2ba，所以2ba，周长的最大值为．5.(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即有sinAsinB－3sinAcosB＝0，因为sinA≠0，所以sinB－3cosB＝0，又cosB≠0，所以tanB＝3，又0＜B＜π，所以π3B.(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.因为a＋c＝1，cosB＝12，有2211324ba.又0＜a＜1，于是有14≤b2＜1，即有12≤b＜1.4.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴abcba2222＞0，∴c＜5.又c＞b－a=1，∴1＜c＜5.题型二求面积的范围或最值变式：bc的取值范围Csinsin的取值范围1.(2013课标全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；3(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB，又B∈(0，π)，所以π4B.(2)△ABC的面积12sin24SacBac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－π2cos4ac.又a2＋c2≥2ac，故422ac，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2+1.2.(2014新课标)16已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，2a，且(2)(sinsin)()sinbABcbC,则ABC面积的最大值为______.解析：2a，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，()(sinsin)()sinabABcbC，()()()ababcbc，222bcabc2221cos22bcaAbc，060A,由224bcbcbc，4bc，01sin6032ABCSbc,ABC面积的最大值为33(2013浙江)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2asinB＝3b及正弦定理sinsinabAB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以π3A.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以283bc.由三角形面积公式S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733.题型三其它表达式的范围如：CBcoscos的取值范围Csinsin的取值范围，利用公式：ACBCBcossinsincoscos1(2013重庆，文18)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋3bc.(1)求A；(2)设3a，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．解：(1)由余弦定理得cosA＝22233222bcabcbcbc.又因0＜A＜π，所以5π6A.(2)由(1)得sinA＝12，又由正弦定理及a＝3得S＝12bcsinA＝12·sinsinaBA·asinC＝3sinBsinC，因此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．所以，当B＝C，即ππ212AB时，S＋3cosBcosC取最大值3.2(2013重庆，理18)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且07)cos(352cosCBA,（I）求角A的大小；（II）设3a，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．解（I）07)cos(352cosCBA03cos235cos2AA40)23)(cos32(cosAA,23cosA,),0(A,65A（II）由(I）得sinA＝12，又由正弦定理及a＝3得S＝12bcsinA＝12·sinsinaBA·asinC＝3sinBsinC，因此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．所以，当B＝C，即ππ212AB时，S＋3cosBcosC取最大值3.题型四求表达式的范围如：22cb的取值范围1已知向量2,1,sin,cos,,,2AmnBCABC为ABC的内角，其所对的边分别为,,.abc（1）当mn取得最大值时，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，当3a时，求22+bc的取值范围．解：（1）mn22132sincos()2sin2sin12(sin)222222AAAABC，0A，022A，当1sin22A，即3A时，mn取得最大值；--5分（2）由32,2sin,2sinsinsinsinsin3abcbBcCABC，2CABB322224sin4sin42sin(2)6bcBCB，20,3B72666B1sin(2)1,26B2236bc22bc的取值范围为(3,6].题型五求其它表达式的范围1．在ABC中，,sin22tanCBA若1AB，则12ACBC的最大值．解：因为tan2sin2ABC，所以2sin2sincos2222sin2sincos2(cos)22ABABABCCABABsin()2sin1cos()ABCAB因为ABC，所以ABC,所以sin()sin,cos()cosABCABC所以，sin2sin1cosCCC，解得：1cos=2C，所以3sin=2C由正弦定理：23sinsinsin3BCACABABC所以13233223sinsinsin()sin233333ACBCBAAA33121cossin+2sin=sin()3223AAAA其中30,tan25所以当sin()1A5时，12ACBC有最大值213.所以答案应填：213.解法二：由余弦定理可得，Cabbacos2122,122abba，12454)2(22222abaabbab，由柯西不等式可得，222)2()2151)(245(abab22)2(]1)2[(107abab，故3212ba，当且仅当a22b5时，取等号.2设△ABC的三边为,,abc满足coscosbcBCa．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）求2cos32cos222CB的取值范围．【解析】：（1）coscosbcaBaC，所以sinsinsincossincosBCABAC，所以sin()sin()sincossincosACABABAC，所以sincoscossinsincoscossinsincossincosACACABABABAC所以cossincossin0ACAB，即cos(sinsin)0ACB所以cos0A，所以π2A（2）222cos3cos22BC=1cos1cos32CB=2cos3cos52BC=2cos3sin52BB=13sin()52B，其中π2(0,),tan23因为π2B，且π04所以2sinsin()113B，所以13sin()57135,222B题型六求其它表达式的范围利用放缩法求角度的范围1（2012安徽卷理）（15）设ABC的内角,,ABC所对的边为,,abc；则下列命题正确的是_____①若2abc；则3C②若2abc；则3C③若333abc；则2C④若()2abcab；则2C⑤若22222()2abcab；则3C【解析】正确的是_____①②③①222221cos2223abcabababcCCabab②2222224()()12cos2823abcabababcCCabab③当2C时，22232233cabcacbcab与333abc矛盾④取2,1abc满足()2abcab得：2C⑤取2,1abc