蕴涵着数学智慧的图形

是否曾想过，一个没有受过中学以外的正式数学训练的画家，他的最热情的赞赏者竟然是数学家！注视着这幅图时是否产生不可思议的感觉?一圈圈的旋转只有无底洞的延伸.*0*被数学家关注的画家埃舍尔和他的艺术.或许正是由于他对数学、建筑学和哲学的过深理解，阻碍了他与同道的交流，他在艺术界几乎总是特立独行，后无来者。他甚至至今无法被归入20世纪艺术的任何一个流派。但是，他却被众多的科学家视为知己。他的版画曾被许多科学著作和杂志用作封面，1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展这是现代艺术史上罕见的。他的一幅木刻版画《骑士》，曾被著名物理学家杨振宁博士选作他获得诺贝尔奖金的《基本粒子》一书的封面，而引世人注目，也使埃舍尔的声名为之大振，称他是一个艺术与科学融合的画家，而享誉世界。现代科学的发展，促使了艺术与其他学科之间的相互交叉、融合、渗透，大都把纷纭繁杂的大千世界的物体，简化成为基本的几何形体或数学关系，有的索性解体，混合而加以整理，这已成为现代艺术一般所追求的道路和创作方法。埃舍尔所走的是一条踏实而艰辛的道路，他把艺术与数学巧妙结合，用精湛的写实技巧表现出来。说到埃舍尔，首先让人联想到的就是“迷惑的图画”。明明是向二楼上去的楼梯不知为什么却返回到了一楼，鸟儿在不断的变化中不知什么时候却突然变成了鱼儿，这些图画就是埃舍尔所描绘的幻想的异次元空间，它具有不可思议的魔力，征服着人们的心灵。他那特别稀有的画风在很长时间以来被美术界视为异端，后来数学家们开始关注埃舍尔的画面的高难度构成，接下来他的画又在年轻人中间大受欢迎，并在世界范围内确立了其不可动摇的地位。19世纪30年代末，埃舍尔游览西班牙时，被摩尔人建筑上的装饰图案所吸引，那些规则的互为背景的彩色图案，看上去简洁明了，甚至略显得单调。但它在埃舍尔的脑子里却打开了具有无穷变换空间的版画世界的大门。他说，仅仅是几何图形是枯燥的，只要赋予他生命就其乐无穷。于是，在规整的三角形、四边形或六边形中，鱼、鸟和爬行动物们互为背景，在二维空间和三维空间相互变换，成为他一个时期热中的创作主题，并成为他终身百玩不厌的游戏。那些变形系列、循环系列和他的《昼与夜》令他一下子闻名世界。但这还仅仅是他创作成就的一部分。埃舍尔作于1938年《天与水》的木刻画面下半部黑色的背景的水里，游着白色的鱼，上半部白色背景的天上，飞翔着黑色的鸟，而空隙间黑的为鸟，白的为鱼，都是由不规则的几何形演变而成，构图非常生动自然。鸟儿在不断的变化中不知什么时候却突然变成了鱼儿，这些图画就是埃舍尔所描绘的幻想的异次元空间，它具有不可思议的魔力，征服着人们的心灵。埃舍尔多次表达数学上有趣的茂比乌斯带。当一条丝带被扭曲后，将两端连在一起，则丝带的正面和反面是相间地连接起来的。但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易。1963年的《红蚁》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画。埃舍尔在他的著作中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。50年代至60年代，他的作品具有了更深的视野。他开始利用人的视觉错误，让他的作品在三维空间里戏。他的《凸与凹》、《上和下》、《观景楼》、《瀑布》等作品，以非常精巧考究的细节写实手法，生动地表达出各种荒谬的结果，几十年来，始终令人玩味无穷。90年代后期，人们发现，埃舍尔30年前作品中的视觉模拟和今天的虚拟三维视像与数字方法是如此相像，而他的各种图像美学也几乎是今天电脑图像视觉的翻版，充满电子时代和中世纪智性的混合气息。因此，有人说，埃舍尔的艺术是真正超越时代，深入自我理性的现代艺术。也有人把他称为三维空间图画的鼻祖。作于1961年的石版画《瀑布》是以彭罗斯的三角原理为依据的，将整齐的立方体堆砌在建筑物上。画面中有一条瀑布从三层楼泻下来，落在底层的水池中，然后循着曲折的渠道流去，意外的却会发现水又流回到了原来的三层楼上，仍倾泻下来，如此轮回不绝，完全违反地心吸力，所表达的图像是毫不合理的。作品中的建筑物和人物手持的立方体都是怪异的。埃舍尔的作品骤看起来没有什么奇怪的地方，但其实当中蕴藏的幻觉事物是最引人入胜的。参观者每每把他们认识的真实世界，与埃舍尔的虚构幻像相混比较，而产生迷惑。《骑士》这类形式的作品，外国的研究者称之为“严格分割”，又称“互嵌图形”。《骑士》是埃舍尔于1946年所创作的三色木刻版画。画面上是黑色骑马人一排，由左向右，而在空隙的背景里，却又有白色骑马人一排，从右向左，黑与白相反相成，构成了统一的画面。埃舍尔这种把形象组合在一起，是需要通过艰难的思维过程和复杂的数学计算才能描绘出来的。这种对“主体”与“背景”、“实在”与“空虚”互为依存，“虚实相生”的探索，是埃舍尔在艺术上的卓越贡献。埃舍尔作的这种“互嵌图形”，并非都像《骑士》那样方向相反而造型完全相同，有时在同一画面上，也可是完全不同的两种形象，甚至是多种形象。《骑士》这类形式的作品,它们的一个共同特点就是用种种图样填满了整个画布，没有一点空隙。在数学上，这样的图样形式被称为“镶嵌”。例如镶嵌一个平面，就是指能用平坦的拼砖来覆盖一个平面，并且拼砖之间没有空隙，也不互相交叠。最早对于镶嵌的观察是自然界六边形的蜂窝。公元前4世纪，古希腊的数学家帕普斯就观察到蜜蜂只用六边形制造它们的巢室，这种形状的构造会使所需要的材料最少，而且所形成的空间最大。希腊人最早发现并证明了等边三角形，矩形和正六边形是仅有的三个能镶嵌平面的图案来看，图形极其美妙，说明很久以前，工匠们就已经学会用正多边形了。只由一种正多边形组成的镶嵌叫做规则镶嵌，有三种类型的规则镶嵌，分别是由正三角形，矩形和正多边形组成。为什么只有这三种呢？道理其实很简单，要达到镶嵌的效果，我们很容易就想到一个必备条件：在每一个顶点，相邻的多边形的内角总和一定是360度。假设n边形被用来镶嵌，那么它的内角必须等分360度，由于一个正多边形的内角度数是(n-2)x180/n,既然要求此角度必须平分360度，那么被360度除得的结果：2n/(n-2)必须是个整数。稍稍一试我们就会发现，只有三角形，矩形，六边形才符合条件，边数越多，这个结果就越小，其余的边数显然那不能符合条件。除了单调地用一种正多边形，正多边形相互之间的联合也可以创造新的镶嵌图案，这就是所谓的半规则镶嵌。它包含了不止一种正多边形，并且每个顶点上的多边形排列情况都是一样的。同样，在一个顶点上，所有的内角大小的总和必须为360度，否则就会出现缝隙或重叠。我们上面讲的都是平面的镶嵌，那么空间呢？我们看到小朋友玩的小皮球是三角形在球面的镶嵌，这说明空间的镶嵌也是可行的。在自然界中，晶体原子的排列，属于空间的镶嵌样式。而在生物世界，更有千千万万的微生物的生物骨架，都呈现出三维的铺砌，它们在用简单的构形，尽最大可能占用有限的空间。空间的镶嵌半规则镶嵌近些年来，数学家们研究了许多用多边形镶嵌平面的方法，发现了很多规则。比如说，多于六边的凸多边形不可能镶嵌一个平面；三角形都可以用于镶嵌一个平面；对于四边的凸边形来说，任何形状的凸四边形都能够通过旋转，平移等各种变换办法来镶嵌一个平面；面对于五边和六边的凸多边形来说，情况就复了，只有特定的凸五边形或凸六边形可作镶嵌，对一般的凸五边形或凸六边形则要具体分析。总之，许多问题仍然有待解决，不过有一件事情是肯定的，那就是美丽的数学镶嵌将会被不断地创造出来！正是由于包括各种镶嵌图形在内的几何给了他灵感，正是充满对数学的热情与对数学的深刻感悟，让他像一名施展了魔法的魔术师，利用几乎没有人能摆脱的逻辑和高超的画技，将一个极具魅力的“不可能世界”立体地呈现在人们面前。埃舍尔说：在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了，难道这意味着它只是一个严格的数学问题吗？按我的意见，它不是。数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域。从他们的天性来看，他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后的花园。”而正是埃舍尔，给人们展示了数学的美丽的后花园，他的一系列画作利用几何学中的反射，平滑反射，变换和旋转来获得更多的，更丰富变化的镶嵌几何图形。这些改变不得不通过三次，四次甚至六次的对称以便得到镶嵌，几何图形，这样做的效果既是让人回味无穷，又是美丽的。其所揭示的规则、合理表象下的矛盾与荒谬，还有那天使与魔鬼互为背景的拼图，都是蕴涵着数学智慧的图形。是否惊讶于埃舍尔的精致艺术，惊讶于艺术中的数学奥妙？从自然界的蜂房，到罗马的马赛克，到古希腊的拼砖，到穆斯林艺术家们的奇妙设计，到埃舍尔的精致图画——隐藏于艺术背后的真相，呈浮于数学中的真理，数学与艺术相互交织，数学并不只是黑白相间的理论知识，一样有着像美丽的后花园似的斑斓色彩。