互斥事件、独立事件与条件概率(精华版)

121.(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B｜A)=()1121ABCD8452一条件概率B32.任意向(0，1)区间上投掷一个点，用x表示该点的坐标，若令事件A={x|0＜x＜}，B={x|＜x＜1}，则P(B|A)=_____.12141243.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率．二互斥事件与独立事件5如图所示，开关电路中，开关S1、S2、S3开或关的概率均为12，且是相互独立的，求灯亮的概率．64.如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；76．(2009·全国Ⅰ卷)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．8解：记Ai表示事件：第I局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛．A＝A3·A4＋B3·B4由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.9(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲再胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.103.第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行,运动会期间来自A大学2名和B大学4名的共计6名大学生志愿者,现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务,至少有一名A大学志愿者的概率是 ()(A) .(B) .(C) .(D) .【解析】(法一)P= + = = .11525351415241511591535(法二)P=1- = .【答案】C61535114.(2012·天津卷)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；12解析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23，设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci4(13)i(23)4－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C24(13)2(23)2＝827.13(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C34(13)3(23)＋C44(13)4＝19，所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.14三独立事件及其概率5.某工人在工作时负责甲、乙、丙三台机器的维护，设甲、乙、丙三台机器是否需要维护相互之间没有影响，若在某一小时内，甲、乙都需要维护的概率为0.05，甲、丙都需要维护的概率为0.1，乙、丙都需要维护的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在该小时内需要维护的概率；(2)求该小时内至少有一台机器需要维护的概率．15【解析】记“机器甲、乙、丙在这个小时内需要维护”的事件分别为A、B、C，依题设A、B、C相互独立．(1)由已知PA·B＝PA·PB＝0.05PA·C＝PA·PC＝0.1PB·C＝PB·PC＝0.125，解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.16(2)记“这个小时内至少有一台机器需要维护”为事件D，由已知P(D)＝1－P(A－·B－·C－)＝1－P(A－)·P(B－)·P(C－)＝1－(1－0.2)×(1－0.25)×(1－0.5)＝0.7.【点评】“互斥”与“独立”的含义可类比“分类”与“分步”理解。17【例1】(2009·吉林延边一模)小张参加某电视台举办的百科知识竞赛预选赛，只有闯过了三关的人才能参加决赛．按规则：只有过了第一关，才能去闯第二关；只有过了第二关，才能去闯第三关．对小张来说，过第一关的概率为0.8，如果不按规则去闯第一关，而直接去闯第二关能通过的概率为0.75，直接去闯第三关能通过的概率为0.5.(1)求小张在第二关被淘汰的概率；(2)求小张不能参加决赛的概率．18解：记小张能过第一关的事件为A，直接去闯第二关能通过的事件为B，直接去闯第三关能通过的事件为C.则P(A)＝0.8，P(B)＝0.75，P(C)＝0.5.(1)小张在第二关被淘汰的概率为P(A·B)＝P(A)·(1－P(B))＝0.8×0.25＝0.2.答：小张在第二关被淘汰的概率为0.2.(2)小张不能参加决赛的概率为P＝1－P(A·B·C)＝1－0.8×0.75×0.5＝0.7.答：小张不能参加决赛的概率为0.7.194．(2009·湖北卷)甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．解析：P1＝0.8×0.6×0.5＝0.24；P2＝1－(1－0.8)·(1－0.6)(1－0.5)＝0.96.答案：0.240.96206.一张储蓄卡的密码共六位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．21解：设第i次按对密码为事件iA(i=1,2)，则112()AAAA表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件1A与事件12AA互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095PAPAPAA.(2）用B表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)PABPABPAAB14125545.223.(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.23B.25C.35D.910D23求复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P()，若解决“至多”“至少”型的题目，此方法显得比较方便．A