2.3实变函数与泛函分析 点集

第三节开集、闭集第二章点集1.开集、闭集P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得}){(,00),(0pEOp有EEEEEEEEE'''}{等价于故的孤立点全体由于说明：1.）要证E是开集,只要证2.）要证E是闭集，只要证)(显然因为EEEE)('显然因为或EEEEEEEE若Eº=E,则称E为开集（E中每个点都为内点)若,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）例：开区间(a,b)为开集说明：要证E是开集，只要证)(显然因为EEEEabx),(),(baOx证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|},则,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。例：闭区间[a,b]为闭集说明：要证E是闭集，只要证''()()()ccccEEEEEEEEEE或或或因为显然abxcxbaO],[),(证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},则,从而x不是[a,b]的接触点，从而[a,b]的接触点都在[a,b]内，从而[a,b]是闭集。2.闭集为对极限运算封闭的点集.结论：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点.利用：p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn},使得0limppnn0limppnn若（或）,则称E为闭集。（与E接近的点不跑到E外）EEEE'TH1:Eº为开集注：Eº为含于E内的最大开集为开集，即从而EEE)(EOOxy),()',(则)',(yOEEOx),()(Ex从而y为E的内点，从而.所以x为Eº的内点，即)(EE证明：只要证),(xOEOx),(,0使得Ex任取，由内点的定义知),(xOy),('yxd任取，取TH2:E`为闭集}){'(,0),(xEOx有),(xO(',')(',')(,)'0,({'})('min{(,'),(,')}xxxOExdxxdxxOO知有当时,有x）)','(xOE(,)'('{})''xxOExxE取，由')''(EE)''(Ex证明：只要证任取，由聚点的定义知E`为闭集注：为包含E的最小闭集E(',')(',')(,)'0,({'})('min{(,'),(,')}xxxOExdxxdxxOO知有当时,有x）为闭集可得利用EEEEEEEEEE''')''(')''()'()','(xO),(xOE}){(),(xEOx')''(EE从而.即x为E的聚点，从而3.开集与闭集的对偶性P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：P0为E的外点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得}){(,00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00,,0即使得b.1.)若E为开集，则Ec为闭集;2.)若E为闭集，则Ec为开集。ccccEEEE)()()()(a.1.）开集的余集是闭集P0为E的接触点：P0为E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得CECE从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而，即Ec为闭集。EOExx),(,0,使得证明：设E为开集，即(,)cxOE从而2.）闭集的余集是开集P0为E的接触点：P0为E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得EE证明：设E为闭集，即cxE任取，假如x不是Ec的内点，则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，cxE从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内，这与矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。4.性质a.空集，Rn为开集;b.任意多个开集之并仍为开集；c.有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭.存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1)AB1.）开集的性质2.）闭集的性质a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。()ccAA注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]()ccAA若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集5.R中有关紧性的两个结论⑴Weierstrass定理：若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点.点列{a1,a2,a3,a4,…}a1=(a11,a12,a13,…,a1n)a2=(a21,a22,a23,…,a2n)a3=(a31,a32,a33,…,a3n)……注：对无限维空间不一定成立。⑵Heine-Borel有限覆盖定理设F为有界闭集，若开集簇覆盖F（即），则中存在有限个开集U1，U2，…,Un，它同样覆盖F.}:{IiUiiIiUF}:{IiUi注：比较下面几种不同的证法1.周民强，实变函数p-362.尤承业，基础拓扑学p-523.熊金城，点集拓扑讲义p-2024.教材p-42注：1.Heine-Borel有限覆盖定理的逆命题也成立2.F为有界、闭集在TH中缺一不可(eg.)(3.)可数覆盖定理设F为Rn中一集合，若开集簇覆盖F（即），则中存在可数个开集U1，U2，…,Un，…，它同样覆盖F.}:{IiUiiIiUF}:{IiUi提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集(4.)紧性有关概念1.紧集的概念（P43）23.自密集定义.4.完备/完全集.有界闭集中紧集nR看书理解：1.P40.例；2.P42.有限覆盖定理证明.3.P42.Rn中紧集与有界闭集等价性证明.知识点复习：1.开集.闭集定义及性质；2.紧集.自密集.完备集概念.