上海初高中一对一补习班 补习班讲课讲义

1第一讲二次根式概念与性质{上海恒高教育}一、二次根式的概念【知识要点】1.二次根式代数式(0)aa叫做二次根式。读作“根号a”，其中a叫被开方数.2.二次根式有意义a有意义的条件是0a说明：在实数范围内，因为负数没有平方根，所以3,0bb这样的式子没有意义。【典型题】1．判断下列各式哪些是二次根式22223816492xabx2.下列式子中哪些是二次根式？（1）56；（2）2；（3）23x；（4）38；（5）21()3；（6）1(1)xx；（7）223xx；（8）2(0)aa；（9）21(1)x；（10）2x3.下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_________（填序号）．24.当实数x取何值时，下列各式有意义？（1）21x；（2）2(2)x；（3）xx；（4）52x；（5）321xx；（6）164x。5.设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？2111212234151xxxxxx6.设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？2121223242133xxxxx3二、二次根式的性质【知识要点】1.性质一2a=│a│=(0)0(0)(0)aaaaa；性质二2()(0)aaa2.性质三ababa0,b0性质四(0,0)aaabbb【典型题】题型一：1.求下列二次根式的值2213221xx（其中3x）2．求下列二次根式的值21112,222cacam，其中（其中m＝－5）3.设a,b,c分别是三角形的三边的长，化简：22abcbca4.若3)32xx（与xx5)52（都成立,则10)6(2xx化简结果是.45.化简：21(3)aa的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、46.如图所示，实数a，b在数轴上的位置，化简222()abab．1-1baO7.化简：224421xxx题型二：1.下列等式一定成立吗？如要成立，需要添加什么条件？12nnmmmnmm2.1111xxxx成立的条件？3311xxxx呢？11xxxx呢？3.如果0,0ab，那么2abba成立吗？4.化简：已知：322112201axxx5【同步训练】一、判断题1、22()aa()2、2aa()3、22()()abba()4、2(7)7()5、2296(3)(3)xxxx()二、填空题6、23()5=；2(0.7)=；21(5)2=7、269=8、0.008136=9、22313312=10、223712196=11、如果x–8，那么2|4(4)|x=12、如果–1x2，那么22|21|69xxxx=13、如果21aa，那么2(2)|1|aa=6三、解答题14、当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义(1)2x(2)21x(3)52x(4)32x(5)37x(6)1||2xx(7)1221xx(8)22xxx15、已知221(41)0xy，求22xy的值16、如果12x有意义，化简2441|3|xxx7第二讲最简二次根式与同类二次根式【知识要点】1.最简二次根式在化简后的二次根式里：(1)被开方数中各因式的指数都为1；(2)被开方数中不含分母.被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.（即：被开方数的因数是整数，因式是整式，且是1次的）2.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.在多项式中，遇到同类项就可以合并.类似地，同类二次根式也可以合并.3.把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”.【典型题】题型一：1.判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式325,42,24,32113aaxaaa2.判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式22221,,2,,441,,3yabcaaabx3.找出下列二次根式中的最简二次根式，将不是最简二次根式化为最简二次根式22222223413,4,5,0,0,,2yabyabacaabmx84.将下列二次根式化为最简二次根式3222140;20,30mnxyyabababmnmn5.将下列各二次根式化为最简二次根式322530,3,0,0,4abpaaaxyxyxypqpq题型二：1.下列各式中，哪些是同类二次根式？（1）18；（2）75；（3）15；（4）24；（5）1328；（6）45；（7）22288(0,0)xxyyxy；（8）226(0,0)xyxy。2.下列二次根式中，哪些是同类二次根式？433112,24,,,20,027ababaaba3.下列各组二次根式中，属同类二次根式的是：11232318443a21与6，与，与，与8a3294.下列各组的二次根式是不是同类二次根式？331132224,33,0183xxxy222xy，50，；22x，8x3a，5.合并下列各式中的同类二次根式11122323;23;23xyaxybxy6.合并下列各式中的同类二次根式1135545;2246;22baba题型三：1.化简下列二次根式：11127,48,20,125,,52yxyxxy2.化简二次根式32172,2123180aaa3.化简二次根式10251,230329abbxa4.化简二次根式3212,2363412ayx5.化简下列二次根式；（1）2(7)；（2）2(722)；（3）3112(0)xyyx；（4）2211(0,0)abab。【同步训练】11一、判断题1、342xxxyy()2、1533026xxx()3、22()abababab()4、11xxx5、0m时，2maamaa()二、填空题1、如果最简二次根式3214x与24x是同类二次根式，则x=2、x取6、9、12、18中的时，x与3是同类根式3、如果最简根式152x与2x为同类二次根式，那么x=4、如果最简二次根式mn与351nn是同类二次根式，那么m=三、选择题1、已知a0，b0，化简2()abab得()A、abbaB、ababC、ababD、abab2、在2222227,,1,5,0.1,2abaxmn中最简二次根式有()个A、1B、2C、3D、43、使等式2344xxxx成立的x的取值范围是()A、x≥4B、0x4C、0≤x≤4D、x≤4四、化简题121、1aa2、2319(0,0)3abcab3、538(0,0)xyxy4、22xyyx五、合并同类二次根式1、148632、1127932733、630.12484、311218435、121121273336、6356255357、382185328、1481325033513第三讲二次根式的加减【知识要点】二次根式的加减法先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.【典型题】1.计算：（1）32818；（2）1135133；（3）11()(4.50.75)23；2.计算481375,21120.5275,383.计算231916;341123662;248350mmxxxxabab144.计算：231630.1248;22822;29333327204xxxxaaabbaabb5.计算：31211124322263xxx6.解方程：32775282x；7.解不等式：218798xx8.解不等式552449xx15【同步训练】一、计算题1、1037125482、240100051053、118(3324)24、11(1218)(0.52)835、2baabab6、2322181238xxxxxx7、3526xyxyyxxyx8、333321xyxyxyyy16二、解方程1、11127533x2、1117300524.5363x三、解不等式1、723232xx2、1.25352xx3、284.5x4、14812273xx17第四讲二次根式的乘除法【知识要点】二次根式的乘除法二次根式的乘法：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.回忆：二次根式的性质：（4个式子）221;2;3;4aaaaababaabb将式子（2），（3）反过来，就可以得到二次根式的乘除运算法则：21;2;3;aaaaababbb【典型题】1.计算211232;24;32;abbabcabc2.计算：1045410.10.07;213;335;4273.计算：232612154;2;30;5yxyststxyxxyxy184.计算：（1）2362(3.75)2.8(2)3453；（2）610abbc（其中0a）；5.计算2322123;26100;3;abuuvvabacbcabc6.计算：2253131213242322yxyxyx7.如果圆的面积与正方形的面积相等，那么圆的周长与正方形周长之比的比值是多少？8.已知5151的整数部分为x，小数部分为y，求2212xxyy的值19【同步训练】一、判断题1、当a、b同号时，abab()2、当a、b都是正实数时，aabb()3、等式2aa，则0a()4、555xx()5、142yyxx()6、22aa成立的条件是0a()二、计算题1、24182、155433、948(327)4、32246435、1318366、1215207、361828、23173559、10521(25)10、1121641212322011、(623)(623)12、23354abab13、319213565xx14、231105aaba21第五讲二次根式的混合运算【知识要点】1.分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．2.在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算性质规定都实用.【典型题】题型一：1.写出下列各式的有理化因式12,1,,2,axyab2.把下列各式分母有理化：（1）118；（2）11aa。3.将下列各式分母有理化22225121;2;3;4;331814abaab4.将下列各式分母有理化31123314332mnmnmn225.将下列各式分母有理化231231123452113302123xymnxy题型二：