2014中考数学综合题专题训练【培优复习计划】第一周

数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第1页中考数学综合题专题训练【培优复习计划】第一周一、【能力自评】1．如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是________________．第1题第2题第5题第6题2．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点（0，－3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，你所确定的b的值是_________．解：把（0，-3）带入得c=-3;a=10;开口向上f(1)=1+b-3=b-20,b2;f(3)=9+3b-3=3b+60,b-2;所以b可以去-1，0，1；3．已知点P（x，y）位于第二象限，且y≤2x＋6，x、y为整数，则满足条件的点P的个数是_________．解：6个（-1,1），（-1,2），（-1,3），（-1，4），（-2,2），（-2,1）4．已知方程(2011x)2－2010·2012x－1＝0的较大根为a，方程x2＋2010x－2011＝0的较小根为b，则a－b＝__________．解：(2011x)2-2012×2010x-1=0(2011x)2-(20112-1)x-1=0(2011x)2-20112x+x-1=020112x(x-1)+(x-1)=0(x-1)(20112x+1)=0x1=1,x2=-1/20112,a=1x2+2010x-2011=0(x-1)(x+2011)=0x1=1,x2=-2011b=-2011a-b=1+2011=2012.5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是_______________．解：首先由图像可知，抛物线的开口向下，∴a＜0。数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第2页又∵抛物线经过点（0,1），（1,0）。将这两点的坐标代入方程得：c＝1，a＋b＋1＝0。即，b＝－a－1。∴抛物线的方程为y＝ax²－（a＋1）x＋1。由图像可知：该抛物线的对称轴在y轴左侧，即对称轴x＝（a＋1）／2a＜0，∵a＜0，∴a＋1＞0。∴－1＜a＜0。6．如图，已知P为△ABC外一点，P在边AC之外，∠B之内，若S△PAB:S△PBC:S△PAC＝3:4:2，且△ABC三边a，b，c上的高分别为ha＝3，hb＝5，hc＝6，则P点到三边的距离之和为___________．设S△PAB=3x,S△PBC=4x,S△PAC=2x,则S△ABC=5x有ha＝3，hb＝5，hc＝6，得3a=5b=6c=2×5x=10x则P点到三边的距离之和为8x/a+4x/b+6x/c=87．已知A（－3，0），B（0，－4），P为反比例函数y＝12x（x＞0）图象上的动点，PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形ABCD面积的最小值为___________．第7题第8题8．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，2），C（1，1），点P在x轴上，且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的2倍，则点P的坐标为__P(2,0)或（-1,0）_．二、【讲练结合】例一．已知，点P是∠MON的平分线OT上的一动点，射线PA交直线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°．（1）求证：PA＝PB；数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第3页（2）若点C是直线AB与直线OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PBPC的值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．解：（1）证明：①当点A在射线OM上时，如图1作PE⊥OM于E，作PF⊥ON于F则∠EPF＋∠MON＝180°∵∠APB＋∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF∴∠EPA＝∠FPB∵OP平分∠MON，∴PE＝PF∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB②当点A在MO延长线上时，如图2作PE⊥OM于E，作PF⊥ON于F则∠EPF＋∠MON＝180°∵∠APB＋∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF∴∠EPA＝∠FPB∵OP平分∠MON，∴PE＝PF∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB（2）解：∵S△POB＝3S△PCB，∴点A在射线OM上，如图3∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝12(180°－∠APB)∵∠APB＋∠MON＝180°，∠POB＝12∠MON∴∠POB＝12(180°－∠APB)，∴∠PBC＝∠POB又∠BPC＝∠OPB，∴△POB∽△PBC∴PBPC＝S△POBS△PBC＝3（3）解：①当点A在射线OM上时，如图4∵∠APB＋∠MON＝180°，∠MON＝60°∴∠APB＝120°，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∠BPD＝60°∵∠PBD＝∠ABO，∴∠PBD＝∠ABO＝75°作BE⊥OP于E∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠BOE＝30°图1ABPMTNOEF图2ABPMTNOFE图3ABPMTNOC图4ABPMTNOED数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第4页∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝3，∠OBE＝60°∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴PE＝BE＝1∴OP＝OE＋PE＝3＋1②当点A在MO延长线上时，如图5此时∠AOB＝∠DPB＝120°∵∠PBD＝∠ABO，∠PBA＝30°，∴∠PBD＝∠ABO＝15°作BE⊥OP于E，则∠BOE＝30°∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝3，∠OBE＝60°∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴PE＝BE＝1∴OP＝OE－PE＝3－1例2（2013年上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝3．所以A(1,3)．因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A(1,3)，可得33a．所以抛物线的表达式为23323(2)333yxxxx．（2）由2232333(1)3333yxxx，得抛物线的顶点M的坐标为3(1,)3．所以3tan3BOM．图5ABPMTNOED数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第5页所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A(1,3)、B(2,0)、M3(1,)3，得3tan3ABO，23AB，233OM．所以∠ABO＝30°，3OAOM．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3，当3BAOABCOM时，23233BABC．此时C(4,0)．②如图4，当3BCOABAOM时，33236BCBA．此时C(8,0)．图3图4三、【课后一周自主训练与提升】【填空题训练】1．从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从乙地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条路线．一个人任意选了一条从甲地到丁地的路线，他恰好选到B2路线的概率是____1/3_____．2．在平面直角坐标系中，已知点P1的坐标为（1，0），将其绕原点按逆时针方向旋转30°得到点P2，延长OP2到点P3，使OP3＝2OP2，再将点P3绕原点按逆时针方向旋转30°得到P4，延长OP4到点P5，使OP5＝2OP4，如此继续下去，则点P2010的坐标是_____________．3．已知关于x，y的方程组tx＋3y＝22x＋(t－1)y＝t的解满足|x|＜|y|，则实数t的取值范围是_______________．数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第6页4．一袋装有四个分别标有数字1、2、3、4，除数字外其它完全相同的小球，摇匀后，甲从中任意抽取1个，记下数字后放回摇匀，乙再从中任意抽取一个，记下数字，然后把这两个数相加，当两数之和为3时，甲胜，反之乙胜．若甲胜一次得7分，那么乙胜一次得__________分，这个游戏对双方才公平．5．如图，已知点A（0，4），B（4，0），C（10，0），点P在直线AB上，且∠OPC＝90º，则点P的坐标为________________．第5题第6题第7题6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴于B，抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A，将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△AOB的内部（不包括△AOB的边界），则m的取值范围是______________．解：把点A的坐标（﹣2，4）代入y=﹣x2﹣2x+c中，﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+c=4，∴c=4，②∵y=﹣x2﹣2x+4=﹣（x+1）2+5，∴抛物线顶点D的坐标是（﹣1，5），AB的中点E的坐标是（﹣1，4），OA的中点F的坐标是（﹣1，2），∴m的取值范围是：1＜m＜3，数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第7页7．如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝2x（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝2x（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为______________．解：作P1⊥y轴于C，P2⊥x轴于D，P3⊥x轴于E，P3⊥P2D于F，如图，设P1（a，2/a），则CP1=a，OC=2/a，∵四边形A1B1P1P2为正方形，∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，∴OB1=P1C=A1D=a，∴OA1=B1C=P2D=2/a-a，∴OD=a+2/a-a=2/a，∴P2的坐标为（2/a，2/a-a），把P2的坐标代入y=2x（x＞0），得到（2/a-a）•2/a=2，解得a=-1（舍）或a=1，∴P2（2，1），设P3的坐标为（b，2/b），又∵四边形P2P3A2B2为正方形，∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，∴P3E=P3F=DE=2/b，∴OE=OD+DE=2+2/b，∴2+2/b=b，解得b=1-根号3（舍），b=1+根号3，∴2b=根号3-1，∴点P3的坐标为（根号3+1，根号3-1）．故答案为：（根号3+1，根号3-1）．【综合题训练】8.（2012四川德阳）已知一次函数1yxm的图象与反比例函数26yx的图象交于A、B两点，.已知当x1时，12yy；当0x1时，12yy.⑴求一次函数的解析式；⑵已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积.【答案】解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1。将x=1代入反比例函数解析式，6y==61，∴点A的坐标为（1，6）。又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6