2014中考数学综合题专题训练【培优复习计划】第二周

数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第1页中考数学综合题专题训练【培优复习计划】第二周一、【能力自评】1．已知抛物线y＝x2－(m－1)x－m－1与x轴交于A、B两点，顶点为为C，则△ABC的面积的最小值为__________．解：设A(x1,0)B(x2,0),则满足x1+x2=m-1,x1x2=-m-1∴|x1-x2|=221)xx(=21221xx4)xx(=)1m(4)1m(2=5m2m2又∵y=X2-(m-1)x-m-1=(x-21m)2-45m2m2∴顶点坐标为(21m，-45m2m2)令t=m2+2m+5,S△ABC=21x|x1-x2|x|-45m2m2|=21xtx4t易得，t越大，面积越大，∴当t最小时，S△ABC就最小。∵t=m2+2m+5=（m+1)2+4≥4∴t的最小值为4，∴SABC的最小值=21x4x44=12．在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（－1，1）、（2，2），直线y＝kx－1与线段AB的延长线相交（交点不包括B），则实数k的取值范围是______________．解：由条件可知y=kx-1一定过m点（0，-1），过A、B的直线为m=(1/3)a+4/3，两直线平行，则k=1/3，两直线相交于B，则k=3/2，所以1/3k3/23．如图，正方形ABCD的面积为12，点E在正方形ABCD内，△ABE是等边三角形，点P在对角线AC上，则PD＋PE的最小值为___________．数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第2页4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，分别以AE、BE为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，若CD＝16，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留π）．解：设圆O,，O1，O2的半径分别为r，r1，r2。∵AB是圆O的直径,弦CD⊥AB于E，∴由垂径定理，得OE²=OC²-(16/2)²即(2r1-r)²=(r-2r2)²=r²-64则r=r1+r2，r1r2=64阴影部分的面积为πr²-πr1²-πr2²=2r1r2π=128π5．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM＝MN，则点M的坐标为______________．数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第3页解：如图，过M作MD∥AC交x轴于D，作MH⊥x轴于H∵OM=MN∴DC=21OC=23∴BD=21，可得△MBD为等边三角形∴MH=43，OH=45∴M（45，43）6．如图，已知一次函数y＝－x＋8与反比例函数y＝kx的图象在第一象限内交于A、B两点，且△AOB的面积为24，则k＝_________．解：∵S△AOB=S△COB-S△AOC=21(xB-xA)OC=24∴xB-xA=6由-x+8=kx得x2-8x+k=0∴x1+x2=8x1x2=k(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=64-4k=62=36k=7数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第4页二、【讲练结合】例一．已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，sinB＝45．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；（3）如图③，当PQ经过△ABC的重心G时，求BP的长．解：（1）过P点作PF∥AC交BC于F∵点P为AB的中点，∴F为BC的中点∴FC＝12BC＝3∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP由题意，BP＝CQ，∴FP＝CQ∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD∴CD＝DF＝12FC＝32（2）当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变分两种情况讨论：①当点P在线段AB上时过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF∵PE⊥BC，∴BE＝EF由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF∴DE＝EF＋DF＝12BC＝3②得点P在BA的延长线上时，同理可得DE＝3∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变（3）过点P作PE⊥BC于E，连接AG并延长交BC于H∵AB＝AC，点G为△ABC的重心，∴AH⊥BC，BH＝CH＝3设AH＝x，则AB＝x2＋32＝x2＋9ADCBPQ图②EFADCBPQ图①F数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第5页∵sinB＝45，∴xx2＋9＝45，解得x＝4∴GH＝13x＝43设BP＝t，则BE＝35t，PE＝45t∵BH＝DE＝3，∴DH＝BE＝35t由△DGH∽△DPE，得GHPE＝DHDE即4345t＝35t3，解得t＝533，即BP＝533例2如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23OC．所以点B的坐标为(2,23)．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)，232(6)a．ADCBPQ图③EGH数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第6页解得36a．所以抛物线的解析式为23323(4)663yxxxx．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以224(23)16y．解得1223yy．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(23)2yy．解得23y．综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)，如图2所示．图2图3三、【课后一周自主训练与提升】【填空题训练】1．半径分别为10和17的两圆相交，公共弦长为16，则两圆的圆心距为__________．解（分类思想）可得：21或92．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，点B在x轴的负半轴上，△AOB的外接圆与y轴交于点C（0，2），∠AOB＝45°，∠BAO＝60°，则点A的坐标为______________．数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第7页解：A的坐标为（226，226）。理由：∵OA=1+3∴|xA|=|yA|=2OA=2263．如图,在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为__________．解：过点D作DM⊥AB交BA的延长线于M，DN⊥BC交BC的延长线于N∵平行四边形ABCD∴AD＝BC＝4,CD＝AB＝3,∠DAM＝∠B＝60,∠DCN＝∠B＝60∵E是BC的中点∴BE＝CE＝2BC＝2∵EF⊥AB∴BF＝2BE＝1,EF＝BE×23＝2×23＝3∴S△BEF＝21×BF×EF＝1×23＝23，AF＝AB-BF＝2∵DM⊥AB，DN⊥BC∴DM＝AD×23＝4×23＝23DN＝CD×23＝233数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第8页∴S△ADF＝21×AF×DM＝21×2×23＝23S△CDE＝21×CE×DN＝21×2×233＝233S□ABCD＝AB×DM＝3×23＝63∴S阴＝S□ABCD-S△ADF-S△CDE-S△BEF＝63-23-233-23＝234．如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，点B坐标为（2，0），∠AOB＝60°，点A在第一象限，双曲线y＝kx经过点A．点P在x轴上，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标为___________；（2）设P（t，0），当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是______________．解：（1）当点O´与点A重合时∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．AP′=OP′，∴△AOP′是等边三角形，∵B（2，0），∴BO=BP′=2，∴点P的坐标是（4，0），故答案为：（4，0）．（2）解：∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°，数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第9页∴OM=t，OO′=t，过O′作O′N⊥X轴于N，∠OO′N=30°，∴ON=t，NO′=t，∴O′（t，t），同法可求B′的坐标是（，t﹣2），设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得；，解得：，∴y=（）x﹣t2+t，∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，AB=2，∴A（2，2），代入反比例函数的解析式得：k=4，∴y=，代入上式整理得：（2t﹣8）x2+（﹣t2+6t）x﹣4=0，b2﹣4ac=﹣4（2t﹣8）•（﹣4）≥0，解得：t≤2t≥﹣2，∵当点O´与点A重合时，点P的坐标是（4，0）∴4≤t≤2或﹣2≤t≤4，数学专题之【培优复习计划】精品解析———————————————————————————————————————第10页故答案为：4≤t≤2或﹣2≤t≤4．点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．5．有三个含30°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但均有一条长为a的边，那么，这三个三角形按照从小到大的顺序，它们的面积比为______________．解：3：4：126．已知点P是抛物线y＝－x2＋3x在y轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y＝－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于B、A两点．若△PAB与△AOB相似，则点P的坐标为_____________________________．解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时，△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；①若△BAP∽△AOB，如图1，图1OABPMxy可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），代入xxy32，可知2513m，)2526,513(1P②若△BAP∽△BOA，如图2，数学专题之【培优复习计划】精品解析—————