36抛物线定义及标准方程

抛物线及标准方程（一）抛物线是怎样形成的呢？平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹是什么？思考：请看动画演示1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点；定直线L叫做抛物线的准线．二、标准方程··FMlN如何建立直角坐标系？二、标准方程xyo··FMlNK设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-p2p2设动点M的坐标为（x，y），由定义可知，化简得y2=2px（p＞0）2)2(22pxypx如图，建立直角坐标系方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离则F（，0），l：x=-p2p2一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.y2=2px（p＞0）表示抛物线的焦点在X轴的正半轴上图形标准方程焦点坐标准线方程3．四种抛物线的标准方程对比pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0,2p2px2,0p2py2,0p2py怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？抛物线的标准方程顶点在原点对称轴为x轴对称轴为y轴标准方程为y2=2px(p0)标准方程为x2=2py(p0)开口与x轴正向同向:y2=2px开口与x轴正向反向:y2=-2px开口与y轴正向同向:x2=2py开口与y轴正向反向:x2=-2py++已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时，应先“定位”；后“定量”。如何确定抛物线对称轴及开口方向一次项变量对称轴，开口方向看正负例1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y2=6x（2）2x2+5y=0(3)x=ay2(a≠0)解：（1）因为2p=6，p=3，（2）抛物线方程是2x2+5y=0,即x2=-y,2p=2525则焦点坐标是F（0，-）,准线方程是y=8585(3)抛物线方程化为：y2=xa1则抛物线x=ay2的焦点坐标为(,0)a41准线方程为x=-a41准线方程是x=-2323所以焦点坐标是（，0），再次强调解题技巧：已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时，应先“定位”；后“定量”。例2根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是F（0，-2）(2)焦点在直线3x-4y-12=0上(3)抛物线过点A（-3，2）。(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且p/2=2，p=4，所以抛物线的方程是x2=-8y解：(2)由题意，焦点应是直线3x-4y-12=0与x轴或y轴的交点，即A（4，0）或B（0，-3）当焦点为A点时，抛物线的方程是y2=16x当焦点为B点时，抛物线的方程是x2=-12y当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=949243∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=-xoxyA(3)23得p=变式训练1.根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)焦点是F（3，0）；(2)准线方程是x=1/4；(3)焦点到准线的距离是2；(4)焦点在直线3x-4y-12=0上.2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程(1)y2=28x;(2)4x2=3y;(3)2y2+5x=0;(4)y=4ax2y2=12xy2=-xy2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4yy2=16x或x2=-12y焦点（7，0），准线x=-7焦点(0,1/16a),准线y=-1/16a;焦点（0，3/16），准线y=-3/16焦点（-5/8，0），准线x=5/8例4:在抛物线y2=4x上求点M，使它到定点P（2，2）和焦点F的距离之和为最小。例3:点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，求点P的轨迹方程。例5、M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是————————————X0+—2pOyx．FM．例6过抛物线y2=4x的焦点，斜率为2的直线L与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。求过定点M（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程。例7；例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A,B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．xyOFBAxyOFBADCxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCH证明：如图．xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜