3.1 不定积分的概念与性质

上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology一、原函数与不定积分的概念原函数的概念如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.•原函数举例所以sinx是cosx的原函数.因为(sinx)cosx,提问：cosx和x21还有其它原函数吗？因为xx21)(,所以x是x21的原函数.因为xx21)(,所以x是x21的原函数.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI都有F(x)f(x).简单地说就是:连续函数一定有原函数.两点说明：1.如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.2.函数f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则(x)F(x)C(C为某个常数).上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology不定积分中各部分的名称：------称为积分号,f(x)------称为被积函数,f(x)dx------称为被积表达式,x------称为积分变量.不定积分的概念在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作dxxf)(.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f(x)的不定积分,即在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作不定积分的概念dxxf)(.CxFdxxf)()(.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例1因为sinx是cosx的原函数,所以如果F(x)是f(x)的一个原函数,则因为x是x21的原函数,所以CxFdxxf)()(.Cxxdxsincos.Cxdxx21.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology求函数xxf1)(的不定积分.例2合并上面两式,得到解如果F(x)是f(x)的一个原函数,则解：当x0时,(lnx)x1,CxFdxxf)()(.Cxdxxln1(x0)当x0时,[ln(x)]xx1)1(1,Cxdxx)ln(1(x0).Cxdxx||ln1(x0).上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology因为例3一曲线通过点(e2,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程.解设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为,即f(x)是的一个原函数.xxfy1)(x1Cxdxxy||ln1故必有某个常数C使f(x)C,即曲线方程为yC.因所求曲线通过点(e2,3),故3f(e2)ln|e2|C2C,C321.于是所求曲线方程为yln|x|1.||lnx||lnx上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology函数f(x)的积分曲线也有无限多.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.•积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.2x的积分曲线上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology微分与积分的关系从不定积分的定义可知又由于F(x)是F(x)的原函数,所以由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.)(])([xfdxxfdxd,或dxxfdxxfd)(])([)(])([xfdxxfdxd,或dxxfdxxfd)(])([CxFdxxF)()(,或记作CxFxdF)()(.CxFdxxF)()(,或记作CxFxdF)()(.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology二、基本积分表(1)Ckxkdx(k是常数),(2)Cxdxx111,(3)Cxdxx||ln1,(4)Cedxexx,(5)Caadxaxxln,(6)Cxxdxsincos,(7)Cxxdxcossin,(8)Cxxdxtansec2,(9)Cxxdxcotcsc2,(10)Cxdxxarctan112,(11)Cxdxxarcsin112,(12)Cxxdxxsectansec,(13)Cxdxxcsccotcsc,(14)Cxdxxchsh,(15)Cxdxxshch.(1)Ckxkdx(k是常数),(2)Cxdxx111,(3)Cxdxx||ln1,(4)Cedxexx,(5)Caadxaxxln,(6)Cxxdxsincos,(7)Cxxdxcossin,(8)Cxxdxtansec2,(9)Cxxdxcotcsc2,(10)Cxdxxarctan112,(11)Cxdxxarcsin112,(12)Cxxdxxsectansec,(13)Cxdxxcsccotcsc,(14)Cxdxxchsh,(15)Cxdxxshch.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例5例4例6(2)Cxdxx111,dxx21dxx2CxCx112112dxxdxxx3732CxxCx331371031371dxxdxxmnmnCxmnmCxmnmnmmn111上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology三、不定积分的性质这是因为,f(x)g(x).性质1下页dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.])([])([])()([dxxgdxxfdxxgdxxff(x)g(x).])([])([])()([dxxgdxxfdxxgdxxff(x)g(x).上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology三、不定积分的性质性质1性质2例7例8dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.dxxfkdxxkf)()((k是常数,k0).例8dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1||ln3321113322.例8dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323例8dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1||ln3321113322.dxxx)23(2dxdxxdxx232Cxxx2233123上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例10三、不定积分的性质性质1性质2例9例11dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.dxxfkdxxkf)()((k是常数,k0).例10CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2.例10CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2.例10CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2.例10CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2.dxxx221Cxxdxxdxxxarctan)111(111222dxxex)32(dxxdxex132Cxex||ln32上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例12例13tanxxC.例14例15积分表例12dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111dxxdxdxxdxxx222211)111(Cxxxarctan313.例13dxxdxdxxdxx222sec)1(sectan例12dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111例12dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111dxxdxdxxdxxx222211)111(例13dxxdxdxxdxx222sec)1(sectan例13dxxdxdxxdxx222sec)1(sectandxx2cos2dxxdxx)cos1(212cos1Cxx)sin(21dxxxxsincos2cosdxxxxxsincossincos22上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyCxxdxxxcossin)sin(cos基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系总结