3.1 二维随机变量及其联合分布函数

第3章在第二章中我们讨论随机现象时都只涉及一个随机变量，但是在许多随机现象中，随机试验的结果需要同时用多个随机变量来刻画，本章将讨论多维随机变量及其概率分布.由于二维和多维在研究方法和性质等方面没有本质的区别，为了简单起见，本章主要讨论二维随机变量及其分布，而第二章中涉及的随机变量称为一维随机变量.一、二维随机变量的概念某城市为了制定一项政策，需要研究每个家庭的经济状况.为了减少工作量，决定随机抽取部分家庭，考察其收入X和支出Y两项指标.该试验的样本空间可以抽象地写成被抽取的家庭XY收入和支出是定义在上的随机变量,,XY则它们构成的向量2R是从样本空间到平面的一个映射.()X()Y下面我们用一个例子引入二维随机变量的概念。也就是说，着平面上的一个点,XY.由于试验结果的发生具有随机性，而,XY依赖于，对于试验的每一个可能结果，都对应是随不同而变化的量，我们称之为二维随机变量.常把,XY简单写成,XY.()X()Y(,)XY如果二维随机变量全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对,(,)XY则称是二维离散型随机变量.二维连续型随机变量是非离散型随机变量中的一类.二维随机变量二维离散型随机变量二维连续型随机变量二、联合分布函数(1)分布函数的定义定义(,)XY设是二维随机变量，,,xy数二元函数:),(yxF},{yYxXP(,)XY称为二维随机变量的联合分布函数，对于任意实.简称为分布函数(,)XY如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,(,)(,)Fxyxy分布函数在处的xoy),(yxyYxX,(,)(,)XYxy函数值就是随机点落在以为右上顶点的无穷矩形域内的概率.二维随机向量（X,Y）X和Y的联合分布函数X的分布函数一维随机变量X),(yxxyO12(,){(,),XYxyxxx随机点落在矩形域12}yyy的概率为1212{,}PxXxyYy22211211(,)(,)(,)(,).FxyFxyFxyFxy11(,)xy22(,)xy12(,)xy21(,)xyxyO1x2x1y2y(2)分布函数的性质0(,)1Fxy定理3.1联合分布函数具有以下性质(1)有界性(2)单调不减性(,),Fxyxy是变量和的不降函数,y即对于任意固定的2121(,)(,);xxFxyFxy当时,x对于任意固定的2121(,)(,).yyFxyFxy当时(3)极限性质,0),(yF,0),(xF,0),(F(,)1.F},{),(yYxXPyxF(5)非负性1212,,xxyy对于任意有22112112(,)(,)(,)(,)0.FxyFxyFxyFxy(4)处处右连续性(0,)(,),FxyFxy),,()0,(yxFyxF(,)Fxyx即关于右连续，.y关于也右连续三、用联合分布函数表示概率(,)Fxy,XY如果知道了二维随机变量的联合分布函数，那么可以求出它落在任何矩形内的概率.121222111221,,,,,PxXxyYyFxyFxyFxyFxy1221,,,PxXxYyFxyFxy,,PXxYyFxy四、边缘分布函数二维随机向量(X,Y)作为一个整体,用联合分布来刻画.而X和Y都是一维随机变量,各有自己的分布,称为边缘分布.,),(),(的分布函数为随机变量设YXyxF定理3.2()(,),XFxFx()(,).YFxFy(,).XYXY称为随机变量关于和的边缘分布函数设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为例3.1(,)arctanarctan23xyFxyABC求：(1)常数A、B与C；(2)(X,Y)关于X与Y的边缘分布函数；解(1)由联合分布函数的性质，有(,)()()122FABC(,)arctan023yFyABC(,)arctan022xFxABC解得21,A,2B.2C(2)(X,Y)关于X的边缘分布函数()(,)XFxFx21limarctanarctan2223yxy11arctan22x类似可求得(X,Y)关于Y的边缘分布函数()(,)YFyFy于是21(,)arctanarctan2223xyFxy11arctan23y设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为例3.21eee,0,0(,)0,xyxyxyxyFxy其他则边缘分布函数为称该分布为二维指数分布,其中参数.0),()(xFxFX1e,00,0xxx),()(yFyFY1e,00,0yyy说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布.也即：二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用.1eee,0,0(,)0,xyxyxyxyFxy其他1e,0(),0,0xXxFxx1e,0()0,0yYyFyy边缘分布与参数λ无关.