正弦定理和余弦定理专题及解析

正弦定理和余弦定理教学目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数一解两解一解一解无解诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC为钝角三角形.()(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3b＝－13舍去，故选D.答案D3.(2017·郑州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cosB＝asinA，则cosB＝()A.－12B.12C.－32D.32解析由正弦定理知sinB3cosB＝sinAsinA＝1，即tanB＝3，由B∈(0，π)，所以B＝π3，所以cosB＝cosπ3＝12，故选B.答案B4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32B.3C.23D.2解析因为S＝12×AB×ACsinA＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3.答案B5.在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确定(2)(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A.1B.2C.3D.4(3)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________.解析(1)∵bsinA＝6×22＝3，∴bsinAab.∴满足条件的三角形有2个.(2)在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c.则由c2＝a2＋b2－2abcosC，得13＝9＋b2＋3b，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1，因此AC＝1.(3)因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，B＋Cπ，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.答案(1)B(2)A(3)1【训练1】(1)(2017·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝13，b＝3，A＝60°，则边c＝()A.1B.2C.4D.6(2)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.解析(1)a2＝c2＋b2－2cbcosA⇒13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).(2)在△ABC中，由cosA＝45，cosC＝513，可得sinA＝35，sinC＝1213，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝6365，由正弦定理得b＝asinBsinA＝2113.答案(1)C(2)2113考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)【例2】(经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2.答案B【迁移探究1】将本例条件变为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析法一由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－πA－Bπ，所以A＝B.法二由正弦定理得2acosB＝c，由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.答案B【迁移探究2】将本例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k0)，由余弦定理可得cosC＝a2＋b2－c22ab＝25k2＋121k2－169k22×5×11k2＝－231100，又∵C∈(0，π)，∴C∈π2，π，∴△ABC为钝角三角形.答案C【迁移探究3】将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，试确定△ABC的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∴c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.法二利用角的关系来判断：∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)，又∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°C180°，所以C＝60°，∴△ABC为等边三角形.考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinB·cosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.由C∈(0，π)知sinC≠0，可得cosC＝12，所以C＝π3.(2)由已知，12absinC＝332，又C＝π3，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.【训练2】(2017·日照模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2a－b)cosC－ccosB＝0.(1)求角C的值；(2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积.解(1)根据正弦定理，(2a－b)cosC－ccosB＝0可化为(2sinA－sinB)cosC－sinCcosB＝0.整理得2sinAcosC＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA.∵0Aπ，∴sinA≠0，∴cosC＝12.又∵0Cπ，∴C＝π3.(2)由(1)知cosC＝12，又a＋b＝13，c＝7，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝169－3ab＝49，解得ab＝40.∴S△ABC＝12absinC＝12×40×sinπ3＝103.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为32，则C＝()A.30°B.45°C.60°D.75°解析法一∵S△ABC＝12·AB·AC·sinA＝32，即12×3×1×sinA＝32，∴sinA＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.法二由正弦定理，得sinBAC＝sinCAB，即12＝sinC3，sinC＝32，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝34≠32(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝32，符合条件，故C＝60°.故选C.答案C2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝2π3，a＝2，b＝233，则B等于()A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析∵A＝2π3，a＝2，b＝233，∴由正弦定理asinA＝bsinB可得，sinB＝basinA＝2332×32＝12.∵A＝2π3，∴B＝π6.答案D3.(2017·成都诊断)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos2B2＝a＋c2c，所以2cos2B2－1＝a＋cc－1，所以cosB＝ac，所以a2＋c2－b22ac＝ac，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形.答案B4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中，a＞b⇔sinA＞sinB⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos2A＜cos2B.所以“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充分必要条件.答案C5.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.3π4B.π3C.π4D.π6解析在△ABC中，由b＝c，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2b2－a22b2，又a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA