2017二次函数汇编1

8.（2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4B16.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，对称轴是直线1x，下列结论：①0ab；②acb42；③0cba；④03ca.其中正确的是（）A．①④B．②④C.①②③D．①②③④15.（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个②③④，三个16.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，对称轴是直线1x，下列结论：①0ab；②acb42；③0cba；④03ca.其中正确的是（）A．①④B．②④C.①②③D．①②③④C．12.（2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．y＝12(x−2)2−2B．y＝12(x−2)2+7C．y＝12(x−2)2−5D．y＝12(x−2)2+4D∵函数y=12（x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=12（1-2）2+1=112，n=12（4-2）2+1=3，∴A（1，112），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，112），∴AC=4-1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=12（x-2）2+4．14.（2017甘肃兰州第15题）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿ABBC→方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FEAE^，交CD于F点，设点E运动路程为x，FCy=，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是()∴△CFE∽△BEA，由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时CFCEBEABBE=CE=x﹣52，即525522xyx，∴y=225（x)52，当y=25时，代入方程式解得：x1=32（舍去），x2=72，∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=52，∴矩形ABCD的面积为2×52=5；∵F（0，2）、M（3，3），∴ME=3，FM=2202(3)3=2，∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．故选C．8.（2017四川泸州第12题）已知抛物线y=14x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（3，3），P是抛物线y=14x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．619.（2017四川宜宾第8题）如图，抛物线y1=12（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=23；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个题解析：∵抛物线y1=12（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，解得：a=23，故①正确；∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，∴无法得出AC=AE，故②错误；当y=3时，3=12（x+1）2+1，解得：x1=1，x2=﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB=4，AD=BD=22，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；∵12（x+1）2+1=23（x﹣4）2﹣3时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．故选B．22.（2017江苏徐州第8题）若函数22yxxb的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．1b且0bB．1bC.01bD．1b【答案】A．【解析】试题解析：∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，∴22400＝b＞b，解得b＜1且b≠0．故选A．23.（2017浙江嘉兴第10题）下列关于函数2610yxx的四个命题：①当0x时，y有最小值10；②n为任意实数，3xn时的函数值大于3xn时的函数值；③若3n，且n是整数，当1nxn时，y的整数值有(24)n个；④若函数图象过点0(,)ay和0(,1)by，其中0a，0b，则ab．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④当x=3+n时，y=（3+n）2-6（3+n）+10，当x=3-n时，y=（n-3）2-6（n-3）+10，∵（3+n）2-6（3+n）+10-[（n-3）2-6（n-3）+10]=0，∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故②错误；∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，当x=n+1时，y=（n+1）2-6（n+1）+10，当x=n时，y=n2-6n+10，（n+1）2-6（n+1）+10-[n2-6n+10]=2n-4，∵n是整数，∴2n-4是整数，故③正确；∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a，b的大小不确定，故④错误；6.（2017湖北武汉第16题）已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0)，若2m3，则a的取值范围是．：把（m，0）代入y=ax2+(a2-1)x-a得，am2+(a2-1)m-a=0解得：m=22222（--1）（-1）4（--1）(+1）22aaacaaaa∵2m3解得：-3a-2，13a12.2.（2017浙江衢州第22题）定义：如图1，抛物线)0(2acbcaxy与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足222ABBPAP，则称点P为抛物线)0(2acbcaxy的勾股点。（1）直接写出抛物线12xy的勾股点的坐标；（2）如图2，已知抛物线C：)0(2abxaxy与x轴交于A，B两点，点P（1，3）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件ABPABQSS的点Q（异于点P）的坐标（0，1）；点B坐标为（4，0），设y=ax（x﹣4），将点P（1，3）代入得：a=﹣33，∴y=﹣33x（x﹣4）=﹣33x2+433x；（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为3，则有﹣33x2+433x=3，解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），∴点Q的坐标为（3，3）；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣3则有﹣33x2+433x=﹣3，解得：x1=2+7，x2=2﹣7，∴点Q的坐标为（2+7，﹣3）或（2﹣7，﹣3）；综上，满足条件的点Q有3个：（3，3）或（2+7，﹣3）或（2﹣7，﹣3）．3.（2017山东德州第22题）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心米.（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度是多少？题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：4+h=0a+h=2a解得：2=-38h3a所以，抛物线的解析式为：y=-23(x-1)2+83(0≤x≤3)，化为一般形式为：y=-224+x233x（0≤x≤3）6.（2017浙江宁波第25题）如图，抛物线21144yxxc=++与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C(6,152在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式；(2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点.①求证：APMAON△∽△；②设点M的横坐标为m，求AN的长(用含m的代数式表示).1)c=-3;直线AC的表达式为：y=34x+3；①在RtΔAOB中，tan∠OAB=34OBOA在RtΔAOD中，tan∠OAD=34ODOA∴∠OAB=∠OAD又∵OM=MP∴OE=EP∵点M横坐标为m∴AE=m+4AP=2m+4∵tan∠OAD=34∴cos∠EAM=cos∠OAD=45∴AM=54AE=5(4)4m∵ΔAPM∽ΔAON∴AMAPANAO∴AN=52024AMAOmAPm9.（2017甘肃庆阳第28题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（-2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．y=﹣14x2+32x+4；当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；∴S△ABN=12BN•OA=12（n+2）×4=2（n+2），∵MN∥AC，∴810AMNCnABBC∴810AMNABNSAMnSAB，∴38n11(8)(2)(n3)51055AMNABNSSnn∵﹣15＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM=12AB，∵AB=2216425OAOB，AC=22641645OCOA，∴AB=12AC，∴OM=14AC．11.（2017广西贵港第25题）如图，抛物线13yaxx与x轴交于,AB两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D.（1）写出,CD两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设:BCDABDSSk，求k的值；（3）当BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.）C（0，3a），D（2，﹣a）；∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣22（舍去）或a=22，此时抛物线解析式为y=22x2﹣22x+322；3.（