2007-2019全国卷高考理科数学数列专题

12007-2019全国卷高考理科数学数列专题一．选择题（共14小题）1．（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．232．（2010•大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．5√2B．7C．6D．4√23．（2010•大纲版Ⅱ）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．354．（2011•大纲版）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（）A．8B．7C．6D．55．（2012•大纲版）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{1𝑎𝑛𝑎𝑛+1}的前100项和为（）A．100101B．99101C．99100D．1011006．（2012•新课标）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣77．（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（2013•新课标Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则2a1=（）A．13B．−13C．19D．−199．（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．8410．（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个11．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．9712．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1B．2C．4D．813．（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．11014．（2017•新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（）3A．﹣24B．﹣3C．3D．89.（2019•新课标Ⅲ）记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505Sa，，则A.25nanB. 310nanC.228nSnnD.2122nSnn二．填空题15．（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．16．（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=．17．（2009•全国卷Ⅱ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则𝑆9𝑆5=．33．（2012•新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．18．（2013•新课标Ⅰ）若数列{an}的前n项和为Sn=23an+13，则数列{an}的通项公式是an=．19．（2013•新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为．20．（2015•新课标Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=．21．（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．22．（2017•新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则∑𝑛𝑘=11𝑆𝑘=．23．（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=414.（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若214613aaa，，则S5=____________．三．解答题24．（2008•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数𝑘≥𝑎1−𝑏𝑎1𝑙𝑛𝑏．证明：ak+1＞b．25．（2009•全国卷Ⅰ）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1𝑛）an+𝑛+12𝑛．（1）设bn=𝑎𝑛𝑛，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．26．（2009•全国卷Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．527．（2010•大纲版Ⅰ）已知数列{an}中，a1=1，an+1=c﹣1𝑎𝑛．（Ⅰ）设c=52，bn=1𝑎𝑛−2，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围．28．（2010•大纲版Ⅱ）已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑎𝑛𝑆𝑛；（Ⅱ）证明：𝑎112+𝑎222+…+𝑎𝑛𝑛2＞3n．29．（2010•宁夏）设数列满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．630．（2011•大纲版）设数列{an}满足a1=0且11−𝑎𝑛+1−11−𝑎𝑛=1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设𝑏𝑛=1−√𝑎𝑛+1√𝑛，记𝑆𝑛=∑𝑛𝑘=1𝑏𝑘，证明：Sn＜1．31．（2011•新课标）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{1𝑏𝑛}的前n项和．32．（2012•大纲版）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤xn＜xn+1＜3；（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式．734．（2014•新课标Ⅰ）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．35．（2014•新课标Ⅱ）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．（Ⅰ）证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛＜32．36．（2015•新课标Ⅰ）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3（I）求{an}的通项公式：（Ⅱ）设bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1，求数列{bn}的前n项和．837．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=3132，求λ．38．（2016•新课标Ⅱ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．17．（2018全国卷）已知数列na满足11a，121nnnana，设nnabn．⑴求123bbb，，；9⑵判断数列nb是否为等比数列，并说明理由；⑶求na的通项公式．21.（2019•新课标Ⅰ）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,,7)i，其中(1)aPX，(0)bPX，(1)cPX．假设0.5，0.8．(i)证明：1{}iipp(0,1,2,,7)i为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性．