摩擦力和摩擦角

-1-高一摩擦力竞赛训练题一、摩擦力：最大静摩擦力的大小是：fmax＝Nμs，μs是静摩擦因数如用fk表示滑动摩擦力，N表示正压力，那么Nftgk/1，叫做滑动摩擦角，同样，如用fsm表示最大静摩擦力，那么Nftgsm/1，在两个接触面的性质确定之后，摩擦角的大小是不会变的。支承面作用于物体的沿接触面法线方向的弹力N与最大静摩擦力fmax的合力F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，因此，接触面反作用于物体的全反力Fˊ的作用线与面法线的夹角Nfarctgs，不能大于摩擦角可作为判断物体不发生滑动的条件。题1、物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。（)28.015tg题2、一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。-2-题3、结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，（1）求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；（2）当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？题4、一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为μ1、μ2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。题5、在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB如图所示，设各接触面的摩擦角均为)(tg，求平衡时，杆AB与斜面AO的交角θ。已知斜面BO和水平面交角α。-3-题6、如图所示，每侧梯长为l的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处动摩擦因数分别为μA=0.2、μB=0.6，不计梯重，求人能爬多高而梯不滑到。-4-题1：解答引进全反力R，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图中的左图和中间图（注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变），φm指摩擦角。再将两图重叠成图的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φm=15°。题2、解析：本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到)(FF后再求极值，另一种是引入全反力（摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解。解法一：（利用平衡条件求解）设拉力与斜面夹角为θ，则由平衡条件可得：0sin)sincos(cosmgFmgF即有)sin/(cos)cos(sinmgF令tg，则有mgmgF21cossin)sin()cos(sin解法二：（引入摩擦角）如图1所示，设1tg，则由平衡条件和矢量三角形可得：当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉力最小，即：mgmgF21cossin)cos(α图1书馆1GF-5-题3、本题也有两种解法：解法一是根据物体的平衡条件求解，这是常规解法；另一解法是分析出它临界条件θ0再引入摩擦角解。解法一：（1）如图2所示，平衡条件可得：0011cos2sinLGLNGNNfN由上述3式可解得：210tg（2）如图3所示，由平衡条件可得：00011cos)2(cos2sinxLPLGLNPGNNfN由上述3式可解得：2/Lx解法二：（1）（引入摩擦角）如图4所示，1tg，由平衡条件可得：tgLL00sincos2所以有210tg（2）如图5所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替G，当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒，所以当人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动。题4、分析：此题同样有两种解法，为了节省篇幅，接下来只介绍引入摩擦角的解法。此题是多点摩擦的问题，而且又是多点同时滑动，所以系统达到临界平衡状态（极限平衡状态）时，即梯子与水平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把两端点的受力用全反力表示，则梯子就只受三个力，且三个力必共点。解：如图6所示，111tg，212tg，由平衡条件和几何关系可得：EBDEAHDHAHDEDHACBCtg2221212121212212121ctgctgN1NfGθ0图2书馆1N1GFθ0图4书馆1N1GFθ0图5书馆1N1NfGPθ0图3θGF11AHCDEBF22图6书馆1-6-即梯子与地面所成的最小的角为121121tg题5、分析：此题也是多点摩擦同时滑动问题。平衡时杆AB与斜面AO的交角θ有最大、最小值。一般平衡情况下夹角介于两者之间。解：在求θmin时，通过引入全反力，杆子受到如图7所示的三个力，由平衡条件可知三力必共点，由几何关系可知：)90(21210BA由上述3式可得：2在求θmax时，通过引入全反力，杆子受到如图8所示的三个力，由平衡条件可知三力必共点，由几何关系可知：)90(2122210BA由上述3式可得：2题6、解析：这是多点摩擦不同时滑动的平衡问题，比前面的例题要复杂。如果地面与梯的摩擦系数足够大，则梯子不会滑到，现两边的摩擦系数较小，所以梯子有可能滑到，所以必须对A、B分别分析。解：由题意可得：01302.0tgA，01306.0tgB如果从A开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到，此时受力如图9所示，设此时人离A端的水平距离为S，则由平衡条件和几何关系可得：030)(ctgslsctgA所以从A端能爬的最大高度为ltgsH44.0600αθ2GF2F1AB图7书馆11αGABF2F1θ2β图8ABFAFBBG图9书馆1-7-如果从B端开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到，此时受力如图10所示，这将不可能，因为A梯早就滑动了或A梯早就转动了。综上所述，人能爬的最大高度是l44.0。[想一想]为什么人在梯子上爬时，水平地面对另一边梯子的作用力必须沿梯子方向？利用数学函数求解：一梯子长为L，斜靠在竖直的墙壁上，梯子的倾角为，与水平地面间的静摩擦系数为1，与竖直墙面间的静摩擦系数为为2，不计梯子的重力，求：重为G的人沿梯子能上升的最大高度。解：以梯子和人组成的系统为研究对象，如图所示，建立直角坐标系：地面对梯子的全反力F1的直线方程：y=－1tan1(x－Lcos)（1）竖直墙面对梯子的全反力F2的直线方程：y=tan2x+Lsin（2）梯子AB的直线方程：y=－tan（x－Lcos）（3）当人达最高时，梯子将要滑动，此时有：tan1=1tan2=2代入上式由（1）、（2）两式可得F1与F2的交点P坐标为：xP=2111)sin(cosLBAFAFBBG图10书馆1-8-代入（3）式得人达到的最大高度为：y=)cos(sin1tan2211L=)coscossin(1sin2211L令h=Lsin则：y=)(tan12211h=h2121tan讨论：（1）当tan11时，yh,说明人可到达梯子的顶端，即：ymax=Lsin。也就是说，梯子的倾角大于某一临界角0时（tan0=11），梯子会处于自锁状态。这种情况在实际中正是人们所希望的，因此人们通常把梯子放得陡一些，使得人无论爬到梯子的任何位置，梯子都将因自锁而不至滑倒，而且梯子与水平地面间的静摩擦系数1越大，临界角0就会越小，梯子会更容易实现自锁状态。（2）、当tan11时，yh,说明人不能到达梯子的顶端，即：ymax=h2121tan如果此题考虑到梯子的重力，则上述结果便是人与梯子系统重心的最大高度，根据系统重心的计算公式，也可计算出人沿梯子上升的最大高度。小结：由于摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系，所以在解决此类有关全反力及摩擦角的问题时，应首选“坐标法”，这样可避免解繁琐的三角形，使解题的目的性更加明确，从而达到事半功倍的效果。