大学物理(振动波动学知识点总结).

大学物理知识点总结（机械振动与机械波）第九章机械振动与机械波机械振动简谐振动的特征简谐振动的描述简谐振动的合成阻尼振动受迫振动简谐振动机械波机械波的产生机械波的描述波动过程中能量的传播波在介质中的传播规律回复力：kxf动力学方程：0dd222xtx运动学方程：)cos(tAx能量：221kAEEEpkEEEpk21简谐振动的特征动能势能相互转化简谐振动的描述一、描述简谐振动的物理量①振幅A：②角频率：mk⑤周期T和频率ν：22020vxA00xvtg③相位(t+)和初相：④相位差：)()(1122ttT22TT1的确定！！1、解析法)cos(tAx)sin(tAv2.振动曲线法3、旋转矢量法：AAptxoM0tt二、简谐振动的研究方法24y)(stA-A1.同方向、同频率的简谐振动的合成：)()()(21txtxtx)cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctgA2A1Axx2x1xo12简谐振动的合成驱动力作正功=阻尼力作负功逐渐耗尽守恒能量振动曲线先变化后稳定。逐渐减小振幅频率受力受迫振动阻尼振动简谐振动运动形式22020vxAkxfvkxftFvkxfcos0mk0220策otxxtoxt阻尼振动受迫振动速度共振位移共振机械波的产生1、产生的条件：波源及弹性媒质。2、分类：横波、纵波。3、描述波动的物理量：①波长λ：在同一波线上两个相邻的相位差为2的质元之间的距离。②周期T：波前进一个波长的距离所需的时间。③频率ν：单位时间内通过介质中某点的完整波的数目。④波速u：波在介质中的传播速度为波速。各物理量间的关系：Tu波速u:决定于媒质。,T仅由波源决定，与媒质无关。机械波的描述波前波面波线波线波前波面1、几何描述：2、解析描述：])(cos[),(0uxtAtxy)2(cos),(0xtAtxy1）能量密度：])([sin0222uxtAw3）能流密度(波的强度)：uAuwI22212）平均能量密度：2221Aw基本原理：传播独立性原理，波的叠加原理。波动过程中能量的传播波在介质中的传播规律1）相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定波的干涉现象：波的反射（波疏媒质波密媒质界面处存在半波损失）干涉减弱：,...)2,1,0()12(kkkrr122)12(k2）加强与减弱的条件：干涉加强：,...)2,1,0(2kk2010若2010若3）驻波（干涉特例）波节：振幅为零的点波腹：振幅最大的点能量不传播多普勒效应：（以媒质为参考系）1）S静止，R运动sRRuVus2）S运动，R静止ssRVuuR一般运动：ssRRVuVu习题类别：振动：1、简谐振动的判定。（动力学）（质点：牛顿运动定律。刚体：转动定律。）2、振动方程的求法。①由已知条件求方程②由振动曲线求方程。3、简谐振动的合成。波动：1、求波函数（波动方程）。①由已知条件求方程②由振动曲线求方程。③由波动曲线求方程。2、波的干涉（含驻波）。3、波的能量的求法。4、多普勒效应。相位、相位差和初相位的求法：解析法和旋转矢量法。1、由已知的初条件求初相位：②已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。①已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。[例1]已知某质点振动的初位置。0200vAy且3)cos(tAy3)3cos(tAy[例2]已知某质点初速度。02100yAv且)sin(tAvAAv21sin0656or6500y2、已知某质点的振动曲线求初相位：③已知初位置的大小、正负以及初速度的大小。[例3]已知某质点振动的初位置。AvAy95.03.000且.00的可能值由yvtg.0的值的正负确定由y注意！由已知的初条件确定初相位时，不能仅由一个初始条件确定初相位。若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，t=0时刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。关键：确定振动初速度的正负。yto12考虑斜率。[例4]一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。求：1）该质元的振动初相。2）该质元在态A、B时的振动相位分别是多少？yAtocBAA22A2）由图知A、B点的振动状态为：022000vAyt时，由旋转矢量法知：yA22c43o解：1）由图知初始条件为：00AAvy0BBvAy由旋转矢量法知：AB2A0B3、已知波形曲线求某点处质元振动的初相位：若已知某时刻t的波形曲线求某点处质元振动的初相位，则需从波形曲线中找出该质元的振动位移y0的大小和正负及速度的正负。12yxouP关键：确定振动速度的正负。方法：由波的传播方向，确定比该质元先振动的相邻质元的位移y。比较y0和y。。，则若；则，若00000vyyvyyo由图知：对于1：。则，00ovyy。，则000vyy对于2：思考?若传播方向相反时振动方向如何？[例5]一列平面简谐波某时刻的波动曲线如图。求：1）该波线上点A及B处对应质元的振动相位。2）若波形图对应t=0时，点A处对应质元的振动初相位。3）若波形图对应t=T/4时，点A处对应质元的振动初相位。解：1）由图知A、B点的振动状态为：00AAvy0BBvAy由旋转矢量法知：2A0BBA2）若波形图对应t=0时，点A处对应质元的振动初相位：20A3）若波形图对应t=T/4时，点A处对应质元的振动初相位：20AtT200AyAxocBAA22Au求振动方程和波动方程（1）写出x=0处质点振动方程；（2）写出波的表达式；（3）画出t=1s时的波形。y)(st2422/2例1.一简谐波沿x轴正向传播，λ=4m,T=4s,x=0处振动曲线如图：]3πx)-(t2πcos[2y1,T(2)u);3πt2πcos(2所以y;3π所以0,；又v3π得;cos2220,由t;2πT2πω;2A);Acos(ωt(1)y0解：解：1）由题意知：5002m200传播方向向左。2/2A)(my)(mxoAPm200设波动方程为：)2cos(0xtAy由旋转矢量法知：o4Ay40)42002500cos(xtAy2）mx100)45500cos(tAy)45500sin(500ddtAtyvy[例2]一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P的运动方向向下,。求：1）该波的波动方程；2）在距O点为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。m200[例3]位于A,B两点的两个波源,振幅相等,频率都是100赫兹，相位差为π,其A,B相距30米，波速为400米/秒，求:A,B连线之间因干涉而静止各点的位置。解：取A点为坐标原点，A、B联线为x轴，取A点的振动方程:)cos(tAyA在x轴上A点发出的行波方程：)2cos(xtAyAB点的振动方程:)0cos(tAyBBAxxm30x30O在x轴上B点发出的行波方程：])30(20cos[xtAyB因为两波同频率同振幅同方向振动,所以相干为静止的点满足：)12()30(22kxx,...2,1,0k相干相消的点需满足：)1(230kxsec/4mu,...2,1,0217kkxmx29,27,25,......9,7,5,3,1可见在A、B两点是波腹处。BAxxm30x30)12()30(22kxx,2,1,0k则有：])(2cos[xTtAy入]223)(2cos[xTtA])(2cos[xTtA反入yyy)2cos()2cos(2xTtA解:设入射波的波函数为：])2(2cos[xOPTtAy反合振动为：例题4：如图，一平面简谐波沿ox轴正向传播，BC为波密媒质的反射面，波由P点反射，OP=3λ/4,DP=λ/6.在t=0时点O处的质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求点D处入射波与反射波的合振动方程（设振幅都为A,频率都为ν）。xxBCPDO入射反射)2cos()22cos(2xTtAy12/72cos)22cos(2TtAyD)22cos(6cos2TtA)22cos(232TtA)(2sin3SItA将D点的坐标代入上式，有所以有故有：又由时处0,0tx00cos2vAy且2/)(2cos1TtxAy])//(2cos[2TtxAy21yyy)21/2cos()21/2cos(2TtxAnx21/2)21(21nx2121/2nxnx21例5.设入射波的表达式为反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求(1)反射波的表达式；(2)合成的驻波的表达式；(3)波腹和波节的位置．解：(1)反射点是固定端，所以反射有相位突变，且反射波振幅为A，因此反射波的表达式为(3)波腹位置：波节位置：,n=1,2,3,4,…在x=0处发生反射，(2)驻波的表达式n=1,2,3,4,…在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：讨论:平面波和球面波的振幅证明：因为在一个周期T内通过1S和2S面的能量应该相等,TSITSI2211SSS21TSAuTSAu22221212212121AA所以,平面波振幅相等：u1S2S2224rS2211rArA;rS21142r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：)(cosurtrAy1r球面波TSAuTSAu222212122121所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为ArA则距波源r处的振幅为例6一个点波源位于O点，以O为圆心作两个同心球面，半径分别为R1、R2。在两个球面上分别取相等的面积⊿S1和⊿S2，则通过它们的平均能流之比P1/P2为：uSAP22211R2Ro1S2S1S2S21RRPP222212212121uSAuSA2222212144RARA1221RRAA1221121SuAP2222221SuAP2122222121RRAAPP1、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间的单位为秒，则简谐振动的振动方程为：cmtxEcmtxDcmtxCcmtxBcmtxA)4/3/4cos(2))3/23/4cos(2))3/23/4cos(2))3/23/2cos(2))3/23/2cos(2))(cmx1o)(st21[C]习题324、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为其合成运动的运动方程为x=())()12/19cos(05.0)()4/cos(05.021SItxSItx)12cos(05.0t1M1x2x2M5、已知三个简谐振动曲线，则振动方程分别为：