大学物理10.2 静电场(电力线)

§10.3静电场中的高斯定理一.电场线用一族空间曲线形象描述场强分布通常把这些曲线称为电场线或电力线1.规定方向：力线上每一点的切线方向；大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，等于该点场强的量值。EddSdSdsEdSEdsd若面积元不垂直电场强度，电场强度与电力线条数、面积元的关系怎样？由图可知通过dsds和电力线条数相同EdsdEdsnsd^cosEdsdEdS匀强电场2.电力线的性质1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；2)两条电场线不会相交；3)电力线不会形成闭合曲线。之所以具有这些基本性质，由静电场的基本性质和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质方程加以证明。二.电通量(electricflux)藉助电力线认识电通量通过任一面的电力线条数dEdSSSdSdsEdSE匀强电场dEdS通过任意面积元的电通量通过任意曲面的电通量怎么计算？S把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场dSE通过闭合面的电通量EdSS讨论SdEd正与负取决于面元的法线方向的选取SdSE如前图知sdE0若如红箭头所示则sdE0SEdSS规定：面元方向由闭合面内指向面外确定的值SEdSdSsdE0sdE0电力线穿入电力线穿出三.静电场的高斯定理Gausstheorem1.表述在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和。EdSqSii内00除以ddldl0r0r平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角11rdldddlrdlr0cos单位：弧度补充：立体角的概念为半径的弧长r1取dl1dl1r100rdl当然也一般的定义：r射线长为线段元dl对某点所张的平面角r平面角ddlrdlr0cos立体角面元dS对某点所张的立体角：锥体的“顶角”ddSrdSr112002单位球面度ddldl0r0rdl1r1ddSdS0r0r1dS1对比平面角，取半径为1r球面面元1dsddSr2cos定义式弧度计算闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度4200SSrdSdld计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角coslrdl000lrdl平面lr0l0r2库仑定律+叠加原理思路：先证明点电荷的场然后推广至一般电荷分布的场1)源电荷是点电荷在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示)2.高斯定理的证明qSdSdE在闭合面S上任取面元sd该面元对点电荷所张的立体角d点电荷在面元处的场强为EdEdSqrrdS402qd40EdSqdSS400iiSqsdE内qSdSdE点电荷在面元处的场强为rrqE204^rr^204cosrqdsSdq040q在所设的情况下得证2)源电荷仍是点电荷取一闭合面不包围点电荷(如图示)1SdSd1E1r^q在闭合面上任取面元1Sdd该面元对点电荷张的立体角2Sd也对应面元2Sd两面元处对应的点电荷的电场强度分别为21EE，2r1r2E2211sdEsdEd222201121044sdrrqsdrrq^^22022210114cos4cosrqdsrqds010SsdE3)源和面均任意根据叠加原理可得EdSEdSSiiSqii01SdSd1E1r^q2Sd2r1r2E1dd120此种情况下仍得证0iiSqsdE1.闭合面内、外电荷的贡献2.静电场性质的基本方程3.源于库仑定律高于库仑定律讨论E都有贡献对对电通量EdSS的贡献有差别只有闭合面内的电量对电通量有贡献有源场四.高斯定理在解场方面的应用利用高斯定理解E较为方便常见的电量分布的对称性：球对称柱对称面对称均匀带电的球体球面(点电荷)无限长柱体柱面带电线无限大平板平面Q的分布具有某种对称性的情况下对例1均匀带电球面Q根据电荷分布的对称性，选取合适的高斯面(闭合面)解:取过场点的以球心o为心的球面ESSdESEdSSdSEEr42Q总电量为半径为R求：电场强度分布RoPrSdS先从高斯定理等式的左方入手先计算高斯面的电通量SSdEEr42QERoPrSdS再根据高斯定理解方程04iiqrEEqrii402过场点的高斯面内电量代数和?204rQERr0iiqRriiQqRr0ERr如何理解面内场强为0?过P点作圆锥则在球面上截出两电荷元2211dSdqdSdq210114rdSdE220224rdSdEP1dq2dq在P点场强1dq方向如图2dq在P点场强方向如图d04d04dEdE12例2均匀带电的无限长的直线线密度对称性的分析rPEd取合适的高斯面lr计算电通量SsdE两底面侧面sdEsdErlE2利用高斯定理解出E02lrlErE02sdEsd