通信原理――随机信号分析new

华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程本章主要内容随机过程的基本概念平稳随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声高斯白噪声和带限白噪声华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程信号分为确知信号和随机信号，在《信号与系统》中，详细讨论了确知信号的分析问题。实际的通信系统中传输的信号都是随机的，如话音信号、图像信号等；系统中的噪声也是随机的。因而，通信原理课程所涉及的信号一般为随机信号。下面，我们将在回顾概率论有关概念的基础上，详细讨论随机信号分析问题。华北水利水电学院信息工程系王玲随机变量的基本概念和统计特性随机变量对于某随机试验，有许多种可能的结果，我们可以规定一些数值来对应表示各个可能的结果。如果引入一个变量X表示试验结果，则X将随机地取某些值，而对应每一个可能的值，有一个概率，这一变量X就称为随机变量。例如：抛硬币试验，可能有两种结果：一种是正面向上，另一种是反面向上。我们规定数值1表示正面向上，数值0表示反面向上。引入变量X表示试验结果，则X将随机地取1或0，而对应于1和0，有一个概率，则X就是随机变量。华北水利水电学院信息工程系王玲随机变量的基本概念和统计特性当随机变量X只能取有限值时，则称之为离散随机变量，当随机变量在某一区间内取值时，则称之为连续随机变量。华北水利水电学院信息工程系王玲随机变量的基本概念和统计特性概率分布函数和概率密度函数设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P{X≤x}F(x)称为随机变量X的概率分布函数。设X是一连续随机变量，其分布函数为F(x)，对于F(x)，若对于任意x，存在(导数关系)则函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数。dxdF(x)f(x)华北水利水电学院信息工程系王玲设E是一个随机试验，它的样本空间S={e}，设X和Y是定义在S上的两个随机变量，则由X和Y构成的向量(X,Y)，叫做二维随机变量/向量。设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为二维随机变量(X,Y)的概率分布函数。随机变量的基本概念和统计特性华北水利水电学院信息工程系王玲对于连续二维随机变量(X,Y)的概率分布函数F(x,y)，如果对于任意x,y，有：f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度函数。),(),(yxFyxyxf2随机变量的基本概念和统计特性华北水利水电学院信息工程系王玲随机变量的基本概念和统计特性随机变量的数字特征(期望，方差，协方差，相关系数)数学期望设连续随机变量X的概率密度函数为f(x)，则积分：称为随机变量X的数学期望，又称均值。用E(X)表示。方差设X为一随机变量，则：E{[X-E(X)]2}＝D(X)称为随机变量X的方差，用D(X)表示。)()(XEdxxxf华北水利水电学院信息工程系王玲随机变量的基本概念和统计特性协方差设X，Y为两随机变量，则：E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=cov(X,Y)称为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)相关系数设X，Y为两随机变量，则：称为随机变量X与Y的相关系数。)()(),cov(YDXDYXXY华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数或实现)，记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图所示。样本函数的总体华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性噪声电压的起伏波形华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程ξ(t)基本特征体现在两个方面：一，它是时间t的函数；二，在固定的某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数t的一簇随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的概率分布函数和概率密度函数一维概率分布函数设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。我们把随机变量ξ(t1)小于等于某一数值x1的概率P[ξ(t1)≤x1]，简记为F1(x1,t1)，即F1(x1,t1)=P[ξ(t1)≤x1]式称为随机过程ξ(t)的一维概率分布函数。华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性一维概率密度函数如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在任意一个孤立时刻上取值的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。),(),(1111111txfxtxF华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性二维概率分布函数及概率密度函数任给两个时刻t1,t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二维随机变量{ξ(t1),ξ(t2)}，则F2(x1,x2;t1,t2)=P[ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2]称为随机过程ξ(t)的二维概率分布函数。如果存在则称f2(x1,x2;t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。),;,(),;,(2121221212122ttxxfxxttxxF华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性n维概率分布函数及概率密度函数任给t1,t2,…,tn∈T,则ξ(t)的n维概率分布函数被定义为:则称fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)为ξ(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。),...,,;,...,,(...),...,;,...,(2121212121nnnnnnnntttxxxfxxxtttxxxF])(,...,)(,)([),...,;,...,(22112121nnnnnxtxtxtPtttxxxF华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性随机过程的数字特征数学期望设随机过程ξ(t)，在任意给定时刻t1，ξ(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1,t1)，则ξ(t1)的数学期望为注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t,x1改为x,这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心(均值)。111111),()]([dxtxfxtEdxtxxftEta),()]([)(1华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性方差D[ξ(t)]D[ξ(t)]常记为σ2(t)。它表示随机过程偏离均值a(t)的程度。均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在任意一个孤立时刻的统计特性。)(),()()]([})]()({[)]([tadxtxfxtatEtatEtD212222华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来衡量随机过程在任意两个时刻取值的关联程度。自相关函数自协方差函数式中，a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到随机变量的数学期望；f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。关于互相关函数以及互协方差函数不再介绍。2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR21212122211221121),;,()]()][([)]}()()][()({[),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性【例】设Z(t)是一随机过程，Z(t)可表示为：Z(t)=X1cosω0t－X2sinω0t若X1和X2是彼此独立且具有均值为0、方差为σ2的正态随机变量，试求：(1)E[Z(t)]、E[Z2(t)]；(2)Z(t)的一维概率密度函数f(z)；(3)R(t1，t2)与B(t1，t2)。华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性解：(1)E[Z(t)]=E(X1cosω0t-X2sinω0t)=cosω0t·E(X1)-sinω0t·E(X2)=0E[Z2(t)]=E(X12cos2ω0t-X1X2sin2ω0t+X22sin2ω0t)=cos2ω0t·E(X12)-sin2ω0t·E(X1X2)+sin2ω0t·E(X22)因为X1和X2独立，所以：E(X1X2)=E(X1)·E(X2)又因为D(X1)=D(X2)=σ2，E(X1)=E(X2)=0，因而：E(X12)=E(X22)=σ2所以：E[Z2(t)]=σ2(cos2ω0t+sin2ω0t)=σ2(2)因为X1、X2是同分布的正态随机变量，Z(t1)是X1和X2的线性组合，所以Z(t1)也服从正态分布，其概率密度函数为：华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性(3)R(t1,t2)=E[Z(t1)·Z(t2)]=E[(X1cosω0t1－X2sinω0t1)·(X1cosω0t2－X2sinω0t2=E(X12cosω0t1cosω0t2+X22sinω0t1sinω0t2－X1X2cosω0t1sinω0t2－X1X2cosω0t2sinω0t1)=σ2(cosω0t1cosω0t2+sinω0t1sinω0t2)=σ2cos[ω0(t1－t2)]B(t1,t2)=R(t1，t2)－E[Z(t1)]·E[Z(t2)]=σ2cos[ω0(t1－t2)])2exp(21)(22zzf华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性数学期望的性质：设c是一常数，则：E(c)=c设c是一常数，X是一随机变量，则：E(cX)=cE(X)设X，Y为任意两个随机变量，则：E(X＋Y)=E(X)＋E(Y)设X，Y是两个相互独立的随机变量，则：E(XY)=E(X)E(Y)华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性例：设ξ(t)是一随机过程，ξ(t)可表示成：ξ(t)＝2cos(2πt+θ)式中，θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2，P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。注：若X为一离散随机变量，则其中，P(X=xi)=piiiipxXE][华北水利水电学院信息工程系王玲随机过程的基本概念和统计特性解：E[ξ(1)]=E[2cos(2πt+θ)]|t=1＝E[2cos(2π+θ)]＝2E(cosθ)=2[P(θ=0)·cos0+P(θ=π/2)·cos(π/2)]=1Rξ(0,1)=E[ξ(0)·ξ(1)]=E[2cosθ·2cos(2π+θ)]＝E[4cos2θ]＝4[P(θ=0)cos20+P(θ=π/2)cos2(π/2)]=2华北水利水电学院信息工程系王玲平稳随机过程通信系统所涉及到的信号及噪声一般情况下都是平稳随机过程。一般来说，若产生随机过程/信号的主要物理条件不随着时间的变换而变化，那么此过程就是平稳的。若随机过程是平稳的，在讨论其统计特性时，无论在何时对其进行测试都能得到相同的结果，因此，可使问题的分析变得简单。华北水利水电学院信息工程系王玲平稳随机过程通信系统所涉及的信号及噪声一般情况下都是平稳随机过程。若随机过程是平稳的，在讨论其统计特性时，无论在何时对其进行测试都能得到相同的结果，因此，可使问题的分析变得简单。一般来说，