《28.1.2-圆的对称性》课件(二)-华东师大版

本课内容：圆的轴对称性与垂径定理MOACBN垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理：如图，MN是圆O的直径，AB是一条弦，且MN⊥AB，利用圆的对称性，你能找出有哪些相等的量？（1）AC=BC（2）AN=BN，AM=BM⌒⌒⌒⌒MOACBN①直线MN过圆心O②MN⊥AB③AC=BC④AM=BM⑤AN=BN垂径定理：⌒⌒⌒⌒垂径定理三种语言：定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,数形结合,形成整体,才能运用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.文字语言图形语言几何语言看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?EEEEEE讲解如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E.ABO解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。在解决有关弦的问题时，常作垂直于弦的半径，连接圆心和弦的一端点（即得半径），构成直角三角形。半弦半径弦心距半弦2+弦心距2=半径2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。试说明：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道？随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习?怎样解答?怎样解答解：过点O作OC⊥AB,垂足为点C,交⊙O与点D，连接OA。CD222222130,210.,30(10)502100,100ACABOCODCDAOAOCACOCORRRRRcmcm在Rt中，AO设的半径为则即内径为的管道。⊙试一试如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线MN过圆心O②MN⊥AB③AC=BC④弧AM=弧BM⑤弧AN=弧BN垂径定理：MOACBN①直线MN过圆心③AC=BC②MN⊥AB④弧AM=弧BM⑤弧AN=弧BN探索一：结论：二、垂径定理的推论OABMN一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。推论1.(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。CDMOACBN②MN⊥AB③AC=BC①直线MN过圆心O④弧AM=弧BM⑤弧AN=弧BN探索二：推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBN②MN⊥AB③AC=BC④弧AM=弧BM①直线MN过圆心O⑤弧AN=弧BN探索三：推论1:(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论1:(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;.(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。你可以写出相应的命题吗?垂径定理及其推论可概括成以下结论•如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.推论2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。推论2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。MOABNCD作直径MN垂直于弦AB∵AB∥CD∴直径MN也垂直于弦CD于是弧AM＝弧BM，弧CM＝弧DM∴弧AM－弧CM＝弧BM－弧DM即弧AC＝弧BDCDABE例：平分已知弧AB已知：弧AB作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点。求作：弧AB的中点CDABEFG变式一：求弧AB的四等分点。mnCDABMTEFGHNP错在哪里？等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。●作AB的垂直平分线CD。●作AT．BT的垂直平分线EF．GHCABE变式二：你能确定弧AB的圆心吗？mnDCABEmnO你能破镜重圆吗？ABACmn·O作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。破镜重圆ABCmn·O弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。作图依据：已知：AB、CD是⊙O的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线。求证：MN垂直平分CD。MOANCDB圆内平行弦的垂直平分线是互相重合的。已知：AB、CD是⊙O的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线。求证：MN垂直平分CD。MOABNCD分析：MN是AB的垂直平分线则有：MN过圆心O是直径由AB∥CD，MN⊥AB则有：MN⊥CD由垂径定理，得MN平分CD所以：MN垂直平分CDMOBNCD证明：∵MN是AB的垂直平分线∴MN过圆心是直径∴MN⊥CD∴MN平分CDA∵AB∥CD，MN⊥AB∴MN垂直平分CDMOABNCD证明：由AB∥CD可得：弧AC=弧BDMN是AB的垂直平分线则有：MN过圆心O是直径弧AM=弧BM∴MN垂直平分CD∴弧AM－弧AC＝弧BM－弧BD即弧CM＝弧DM挑战自我填一填•1、判断：•⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）•⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）•⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）•⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.•⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）例3已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求弦AB与CD之间的距离。.AEBOCD20152525247讲解.AEBOCDFEF有两解：15+7=22cm15-7=8cm如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为________.35如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F，DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cmFEDCBAO5如图，在圆O中，已知AC=BD，试说明：（1）OC=OD（2）AE=BF︵︵FECOABD课堂小结：本节课探索发现了垂径定理的推论1和推论2,并且运用推论1等分弧。●要分清推论1的题设和结论,即已知什么条件,可推出什么结论.这是正确理解应用推论1的关键;●例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想在这里的运用.回味引伸垂径定理及其推论1的实质是把(1)直线MN过圆心;(2)直线MN垂直AB;(3)直线MN平分AB;(4)直线MN平分弧AMB;(5)直线MN平分弧ANB中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作进一步的推导,同学们课下不妨试一试.