江苏省专转本高等数学第三节 极限的运算法则第四节 无穷小(量)和无穷大(量)

第三节极限的运算法则定理则设,lim,limBvAu;limlim)lim()1(BAvuvu证略;limlim)lim()2(BAvuuv)0(limlimlim)3(BBAvuvu1vuvulimlim)lim(说明：1.有两层意思:(1)在limu和limv都存在的前提下，lim(u+v)也存在；(2)lim(u+v)的数值等于limu+limv.2.lim(u+v)存在,不能倒推出limu和limv都存在.3.若limu存在,而limv不存在,则lim(u+v)必不存在.4.可推广到有限多项.反证:uvuv)(若lim(u+v)存在,已知limu存在,由定理知limv存在,矛盾2推论1则为常数而存在如果,,limcu则是正整数而存在如果,,limnu推论2;limlim)lim()2(BAvuuv.lim)lim(uccu.)(limlimnnuu,lim00xxxx前已证.lim00nnxxxx所以例1)13(lim22xxx13limlim222xxxx1)2(3)2(2.13例2.531lim232xxxx求解531lim232xxxx)53(lim)1(lim2232xxxxx.3731234解例3.321lim221xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小x)1)(3()1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21)00(型消零因子法5一、无穷小(量)定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).例如,,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn注:1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数.2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.第四节无穷小(量)和无穷大(量)6无穷小和极限的关系:定理变量y以A为极限的充分必要条件是：变量u可以表示为A与一个无穷小量的和。即limuAuAa，其中a是无穷小。证略.定理表明：极限概念可以用无穷小量概念来描述.无穷小量的性质：1°有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；定理2°无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；3°有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。7例1.sinlimxxx求解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxx错误解法:01sinlimlim1sinlim000xxxxxxx.8xxxarctanlim)15cos(7lim232xxxxx例2.0例3.09二、无穷大(量)定义如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则称u为无穷大(量)，记作uulim或精确定义：：)(lim0xfxx,0,0M.)(Mxf有,00时当xx1.无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数混为一谈；2.称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注:10证明xx1lim0.0M,欲使Mx1,即Mx1,当x0时,恒有Mx1.所以取M1,证得证.xoy例411无穷大量与无界变量的关系(1)无穷大量显然是无界变量；(2)但无界变量不一定是无穷大量。nann])1(1[}{：例如数列当n时,}{na是无界的,但),2,1(nan不是无穷大量.再如，函数xxsin，当x时是无界的,但它并不是无穷大量。12三、无穷大量与无穷小量的关系)(1xf为无穷小;反之,若)(xf为(非零)无穷小,则)(1xf为无穷大.定理在自变量的同一变化过程中,如果)(xf为无穷大,则意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例5)1(limnnnnnn11lim)1lim(）（因为nnn.013例6.)0(limaaaaannnnn求解当1a时，因为0nnaa，故原极限为0；,11limlim22nnnnnnnnaaaaaa当1a时，,0lim2nna因为所以原极限为-1；当1a时，nnnnnnnnaaaaaa2211limlim,1所以.1,11,010,1limaaaaaaannnnn14四、无穷小量的比较例如,xxx3lim20xxxsinlim0，20limxxx.1sin,sin,,,022都是无穷小时当xxxxxx比值极限不同,反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同.;32要快得多比xx;sin大致相同与xx,0,1观察各极限.2要慢得多比xx下节证15,,0lim)1(高阶的无穷小是比则称如果aa定义：.0,,a且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)3(是同阶无穷小与则称如果aacc;,1lim是等价的无穷小与则称如果特别地，aa低阶的无穷小；是比则称如果aa,lim)2(;)(ao记作;~a记作16.),0,0(lim30无穷小阶的是则称、如果kxkCCxkxaa说明:1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶.2、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的.17例7由于都是无穷小时当,1,1,1,2nnnn,01112nnn,0111nnn,11nnn比高阶的无穷小，是即故nnnon11),1(122低阶的无穷小。是比而nn1118例8证明：当n时，nn1与n1是同阶无穷小。证nnnn/11limnnnn1lim,21所以当n时，无穷小量nn1与n1是同阶的。nnnnnnnn1)1)(1(lim1/111limnn19例9证明：当0x时，xnxn1~1)1(1。证xxnx11lim0ntx1令)1)(1(1lim211nnttttt，n1.1~11xnxn11lim1nttt20例10当0x时，由于x1sin是有界变量，所以xx1sin是无穷小。但是，xxxx1sinlim0xx1sinlim0不存在，故不能比较xx1sin与x的阶的高低，21例4.147532lim2323xxxxx求解)(型332323147532lim147532limxxxxxxxxxx.72一般,为非负整数时有和当nmba,0,000.,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当22例5.2arctanlim22xxxxx求解.,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当xxxxxxxxxxxarctanlim2lim2arctanlim2222221.423共扼因子法解解令61tx,变量代换法,0x,1t)1)(1()1)(1(lim1xxxxx原式)1(lim1xx.211lim321ttt原式11lim21tttt.32.11lim1xxx求例6.1111lim30xxx求例724例8).21(lim222nnnnn求解．是无穷多项之和时,n222221lim)21(limnnnnnnnn22)1(limnnnn.21先变形再求极限.25